[2025年2月12日](发两道题是因为好事成双)
难度：预备轮普通 考察知识点：因式分解与一元二次方程
已知实数$a，b，c$满足$a+2b+3c=20$，$2ab+2bc+ca=0$，请问$c$是否有最小值？若有，求其值；若没有，请说明理由.
- 1
[2025年2月14日](今天这题不难，但很有意思😋)
难度：预备轮地狱 考察知识点：因式分解综合
设$a，b$为整数，若$x^2-x-1$是$ax^{17}+bx^{16}+1$的一个因式，求$a^{a-986}+b^{a-987}$的值
？？？
斐波那契？
可以发个解析吗
明天发
😑😑😑
$答案：a=988$
$因为x^2-x-1是ax^{17}+bx^{16}+1的一个因式$
$所以当x^2-x-1=0时，ax^{17}+bx^{16}+1=0$
$不妨设x_{1}，x_{2}为x^2-x-1=0的两个根$
$(韦达定理)x_{1}+x_{2}=1，x_{1}x_{2}=-1$
$所以ax_{1}^{17}+bx_{1}^{16}+1=0...①，ax_{2}^{17}+bx_{2}^{16}+1=0...②$
$①×x_{2}^{16}-①×x_{1}^{16}得：$
$a_{1}^{17}x_{2}^{16}+x_{2}^{16}-(ax_{2}^{17}x_{1}^{16}+x_{1}^{16})=0$
$a(x_{1}-x_{2})=x_{1}^{16}-x_{2}^{16}$
$a=(x_{1}^{8}+x_{2}^{8})(x_{1}^{4}+x_{2}^{4})(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})(x_{1}+x_{2})$
$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^2-2x_{1}x_{2}=1+2=3$
$同理可得：x_{1}^{4}+x_{2}^{4}=9-2=7，x_{1}^{8}+x_{2}^{8}=49-2=47$
$所以a=47×7×3×1=987$
$由题目易得，b≠0$
$所以原式=987+1=988$
答案：确实要用换元法，不过要用均值换元法😋
解不妨设n=2002
原式=$(n-3)(n-2)(n-1)(n+1)(n+2)(n+3)+36$
=$(n^2-9)(n^2-4)(n^2-1)+36$
=$(n^4-13n^2+36)(n^2-1)+36$
=$n^6-14n^4+49n^2$
=$(n^3-7n)^2$
n为整数，所以原式为完全平方数 证毕
[2025年2月15日] 难度：预备轮普通 考察知识点：因式分解——拆添项法
已知$a=(3^4+4)×(7^4+4)×(11^4+4)×...×(39^4+4)$，$b=(5^4+4)×(9^4+4)×(13^4+4)×...×(41^4+4)$，求a：b的值.
[2025年2月16日] 难度：预备轮困难 考察知识点：因式分解——公式法
1.(小试牛刀)已知$a+b+c=3$，$a^2+b^2+c^2=3$，求$a^2019+b^2019+c^2019$的值.
2.(初露锋芒)已知实数$a，b，c$满足$a+b+c=1$，$a^2+b^2+c^2=2$，$a^3+c^3+b^3=3$
⑴求$a^4+b^4+c^4$的值；
⑵求$(a^2+ab+b^2)(a^2+ac+c^2)(b^2+bc+c^2)$的值.
2.(大展身手)已知$a+b+c=0$，$a^2+b^2+c^2=2$
⑴求$a^4+b^4+c^4$的值；
⑵记$x=a^5+b^5+c^5$，$y=abc$，求x：y的值.
[2025年2月23日] 难度：预备轮困难 考察知识点：轮换式与对称式和不等式
已知正实数$x，y，z$满足$xy+yz+zx≠1$，且$\dfrac{(x^2-1)(y^2-1)}{xy}+\dfrac{(y^2-1)(z^2-1)}{yz}+\dfrac{(z^2-1)(x^2-1)}{xz}=4$
⑴求$\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}$的值；
⑵求证：$9(x+y)(y+z)(z+x)≥8xyz(xy+yz+zx)$
[2025年3月15日] 难度：预备轮普通 考察知识点：因式分解——公式法
$已知实数m和n满足m^3-9m^2+29m-18=0，n^3-9n^2+29n-48=0，求m+n的值.$