数学

[代数专题]因式分解好题分享

求解析

我丢这么卷

-20？看作a，2b的韦达形式，再用δ≥0就可以搞出来了（貌似不一定对）

✅正解，有空可以看看其它题

有详细的解析吗

想知道怎么用一元二次方程解决这道题，我是直接把c与a，b的关系算出来然后用均值完成的

可以考虑利用韦达定理构造一元二次方程利用根的判别式求最值

懂了懂了

答案：-20

解：

$a+2b=20-3c$

$2ab==-2bc-ca=-c(a+2b)=-c(20-3c)=3c^2-20c$

所以$a，2b$为方程$x^2+(3c-20)x+3c^2-20c=0$两个实数根

$Δ=b^2-4ac=(3c-20)^2-4×1×(3c^2-20c)=-3c^2-40c+400≥0.$

$→3c^2+40c-400≤0$

$→(3c-20)(c+20)≤0$

$-20≤c≤\dfrac{20}{3}$

$所以c的最小值为-20.$

哇塞！厉害了！

？？？

斐波那契？

可以发个解析吗

明天发

😑😑😑

$答案：a=988$

$因为x^2-x-1是ax^{17}+bx^{16}+1的一个因式$

$所以当x^2-x-1=0时，ax^{17}+bx^{16}+1=0$

$不妨设x_{1}，x_{2}为x^2-x-1=0的两个根$

$(韦达定理)x_{1}+x_{2}=1，x_{1}x_{2}=-1$

$所以ax_{1}^{17}+bx_{1}^{16}+1=0...①，ax_{2}^{17}+bx_{2}^{16}+1=0...②$

$①×x_{2}^{16}-①×x_{1}^{16}得：$

$a_{1}^{17}x_{2}^{16}+x_{2}^{16}-(ax_{2}^{17}x_{1}^{16}+x_{1}^{16})=0$

$a(x_{1}-x_{2})=x_{1}^{16}-x_{2}^{16}$

$a=(x_{1}^{8}+x_{2}^{8})(x_{1}^{4}+x_{2}^{4})(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})(x_{1}+x_{2})$

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^2-2x_{1}x_{2}=1+2=3$

$同理可得：x_{1}^{4}+x_{2}^{4}=9-2=7，x_{1}^{8}+x_{2}^{8}=49-2=47$

$所以a=47×7×3×1=987$

$由题目易得，b≠0$

$所以原式=987+1=988$

OK，晚上发

解答呢？🤕

答案：确实要用换元法，不过要用均值换元法😋

解不妨设n=2002

原式=$(n-3)(n-2)(n-1)(n+1)(n+2)(n+3)+36$

        =$(n^2-9)(n^2-4)(n^2-1)+36$

        =$(n^4-13n^2+36)(n^2-1)+36$

        =$n^6-14n^4+49n^2$

        =$(n^3-7n)^2$

n为整数，所以原式为完全平方数         证毕

答案：$1：353$

解：

通项：$x^4+4=(x^2+2)^2-(2x)^2=(x^2+2x+2)(x^2-2x+2)=[(x+1)^2+1][(x-1)^2+1]$

$a=(2^2+1)(4^2+1)(6^2+1)(8^2+1)...(38^2+1)(40^2+1)$

$b=(4^2+1)(6^2+1)(8^2+1)(10^2+1)...(40^2+1)(42^2+1)$

$a：b=(2^2+1)：(42^2+1)=1：353$

a方019是什么

纠正一下：⑴要求的是$a^{2019}+b^{2019}+c^{2019}$😅

答案：1.3

解：

$2(ab+bc+ca)=(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)=9-3=6$

$ab+bc+ca=3$

$a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca$

$2(a^2+b^2+c^2)=2(ab+bc+ca)$

$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0$

$a=b=c$

$因为a+b+c=3$

$所以a=b=c=1$

$原式=1+1+1=3.$

2.⑴$\dfrac{25}{6}$

$↛(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca↚$

$→ab+bc+ca=\dfrac{1}{2}[(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)]=\dfrac{1}{2}(1-2)=-\dfrac{1}{2}$

$↛(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=a^3+b^3+c^3-3abc↚$

$1×(2+\dfrac{1}{2})=3-3abc$

$→abc=\dfrac{1}{6}$

$则(a^2+b^2+c^2)^2=a^4+b^4+c^4+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)=4$

$→a^4+b^4+c^4=4-2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$

$则(ab+bc+ca)^2=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc(a+b+c)=\dfrac{1}{4}$

$→a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=\dfrac{1}{4}-2×\dfrac{1}{6}×1=-\dfrac{1}{12}$

$所以a^4+b^4+c^4=4+\dfrac{1}{6}=\dfrac{25}{6}$

把初联刷题的题搞过来了？

⑴1(直接用主元法暴力算然后十字相乘♿♿♿)

条件⇔$z(x^2-1)(y^2-1)+x(y^2-1)(z^2-1)+y(z^2-1)(x^2-1)-4xyz=0$

然后以$x$为主元暴力展开♿(其实应该不是很暴力？)，得到

$(yz-1)(y+z)x^2+(y^2z^2-y^2-z^2-4yz+1)x-(yz-1)(y+z)=0$

⇒(十字相乘)$(xyz-x-y-z)(xy+yz+zx-1)=0$，又$xy+yz+zx{\ne}1$，故$xyz=x+y+z,\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=1$

⑵由⑴的结论，$xyz=x+y+z$

于是$9(x+y)(y+z)(z+x)=9xyz(xy-1)(yz-1)(zx-1)$，只需证$9(xy-1)(yz-1)(zx-1){\ge}8(xy+yz+zx)$

令$(r,s,t)=(xy,yz,zx)$，则条件即为$rst=rs+st+tr$，只需证$9(r-1)(s-1)(t-1){\ge}8(r+s+t)$，将左侧展开，即为

$9rst-9(rs+st+tr)+(r+s+t){\ge}9$，这等价于$r+s+t{\ge}9$

又由权方和不等式有$1=\frac{1}{r}+\frac{1}{s}+\frac{1}{t}{\ge}\frac{9}{r+s+t}$，故原不等式得证

取等条件为$r=s=t=3$，即$x=y=z=\sqrt{3}$(其实中间这个换元只是为了好看hhh)

✅正解，有空可以看看其它题(第二问其实配方法也可以做)

你指的是哪一道题？

2月14

说实话，这道题得不出来a和b的关系

斐波那契吗

可以用最朴素的方法来做😋