数学 [代数专题]因式分解好题分享
[2025年6月2日已更新]
🌠众所周知，刷题是巩固新知的一个好的方式。因式分解作为计算也不例外，也需要大量的练习。而在练习中的错题一定要反复刷，直到没有错误为止
🔔在这里，我会把因式分解中比较有趣的题目在这个帖子进行分享😋(有意者可做，自己也可发题)
$附赠：✅怪题总结(不限学科)$
(历史与数学)$1.如果朱祁镇时期的明朝国力是一个指数函数y=a^x，求a的取值范围.$
(数学与语文)$2.已知f(x)=\dfrac{5cosx}{x^2+1}，x∈(-∞，0)，则它的图像单调性在《琵琶行》中$
琵琶女的感情色彩为：___________，____________，___________.
(数学与语文)3.《梦游天姥吟留别》中，一个数与其倍数在同一句的是：_____________，_____________.
[2025年2月12日] (祝大家元宵节快乐🏮) 难度：预备轮困难 考察知识点：双十字和配方法
已知实数$a，b$满足$3a^2+10ab+8b^2+5a-10b=0$，记$u=9a^2+72b+2$，求$u$的最小值
- 1
[2025年2月12日](发两道题是因为好事成双)
难度：预备轮普通 考察知识点：因式分解与一元二次方程
已知实数$a，b，c$满足$a+2b+3c=20$，$2ab+2bc+ca=0$，请问$c$是否有最小值？若有，求其值；若没有，请说明理由.
求解析
答案：存在，最小值为20
解：$a+2b+3c=20，a+2b=20-3c$
由$(a-2b)^2≥0$得，$a^2-4ab+4b^2≥0，a^2+4ab≥4ab$
所以$(a+2b)^2≥8ab，(20-3c)^2≥8ab$①
$2ab+2bc+ca=0，2ab=-2bc-ca，2ab=-c(a+2b)，2ab=c(3c-20)$②
由①②得，$(20-3c)^2≥4c(3c-20)$
整理得$3c^2+4c-400≤0$
解得$-20≤c≤20/3$
所以$c$的最小值为$-20$
是-20😅
我丢这么卷
[2025年2月14日](今天这题不难，但很有意思😋)
难度：预备轮地狱 考察知识点：因式分解综合
设$a，b$为整数，若$x^2-x-1$是$ax^{17}+bx^{16}+1$的一个因式，求$a^{a-986}+b^{a-987}$的值
？？？
斐波那契？
可以发个解析吗
明天发
😑😑😑
$答案：a=988$
$因为x^2-x-1是ax^{17}+bx^{16}+1的一个因式$
$所以当x^2-x-1=0时，ax^{17}+bx^{16}+1=0$
$不妨设x_{1}，x_{2}为x^2-x-1=0的两个根$
$(韦达定理)x_{1}+x_{2}=1，x_{1}x_{2}=-1$
$所以ax_{1}^{17}+bx_{1}^{16}+1=0...①，ax_{2}^{17}+bx_{2}^{16}+1=0...②$
$①×x_{2}^{16}-①×x_{1}^{16}得：$
$a_{1}^{17}x_{2}^{16}+x_{2}^{16}-(ax_{2}^{17}x_{1}^{16}+x_{1}^{16})=0$
$a(x_{1}-x_{2})=x_{1}^{16}-x_{2}^{16}$
$a=(x_{1}^{8}+x_{2}^{8})(x_{1}^{4}+x_{2}^{4})(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})(x_{1}+x_{2})$
$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^2-2x_{1}x_{2}=1+2=3$
$同理可得：x_{1}^{4}+x_{2}^{4}=9-2=7，x_{1}^{8}+x_{2}^{8}=49-2=47$
$所以a=47×7×3×1=987$
$由题目易得，b≠0$
$所以原式=987+1=988$
答案：确实要用换元法，不过要用均值换元法😋
解不妨设n=2002
原式=$(n-3)(n-2)(n-1)(n+1)(n+2)(n+3)+36$
=$(n^2-9)(n^2-4)(n^2-1)+36$
=$(n^4-13n^2+36)(n^2-1)+36$
=$n^6-14n^4+49n^2$
=$(n^3-7n)^2$
n为整数，所以原式为完全平方数 证毕
[2025年2月15日] 难度：预备轮普通 考察知识点：因式分解——拆添项法
已知$a=(3^4+4)×(7^4+4)×(11^4+4)×...×(39^4+4)$，$b=(5^4+4)×(9^4+4)×(13^4+4)×...×(41^4+4)$，求a：b的值.
[2025年2月16日] 难度：预备轮困难 考察知识点：因式分解——公式法
1.(小试牛刀)已知$a+b+c=3$，$a^2+b^2+c^2=3$，求$a^2019+b^2019+c^2019$的值.
2.(初露锋芒)已知实数$a，b，c$满足$a+b+c=1$，$a^2+b^2+c^2=2$，$a^3+c^3+b^3=3$
⑴求$a^4+b^4+c^4$的值；
⑵求$(a^2+ab+b^2)(a^2+ac+c^2)(b^2+bc+c^2)$的值.
2.(大展身手)已知$a+b+c=0$，$a^2+b^2+c^2=2$
⑴求$a^4+b^4+c^4$的值；
⑵记$x=a^5+b^5+c^5$，$y=abc$，求x：y的值.
[2025年2月23日] 难度：预备轮困难 考察知识点：轮换式与对称式和不等式
已知正实数$x，y，z$满足$xy+yz+zx≠1$，且$\dfrac{(x^2-1)(y^2-1)}{xy}+\dfrac{(y^2-1)(z^2-1)}{yz}+\dfrac{(z^2-1)(x^2-1)}{xz}=4$
⑴求$\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}$的值；
⑵求证：$9(x+y)(y+z)(z+x)≥8xyz(xy+yz+zx)$
