物理

TMO 1st（TINY Mathematical Olympiad）2025.2

我宣布，第一届TINY帝国数学奥林匹克竞赛，开幕！

（有原创，有改编）

1.已知圆O外有一点A，该圆的一条弦MN垂直于OA，MA与圆O交于另一点P，PN交OA于B，MO交AN于Q，求证：QO·BN=OB·AQ.

2.已知实数列{${a_n}$}满足${a_{n+1}=\frac{a_n+p}{1-qa_n}(p，q \in \mathbb{R_+})}$.

(1)已知${p=q=\sqrt{3}，a_1=2，求a_{114514}}$.

(2)若{${a_n}$}为周期数列，求证：${\exists k \in \mathbb{Q}，sin kπ=\frac{2\sqrt{pq}}{1+pq}}$.

3.在平面直角坐标系中，从${O(0,0)移动到N(2n,2n)(n \in \mathbb{N^*})}$，规定每次移动只能横坐标增加1或纵坐标增加1.

(1)求总共的走法数.

(2)求不经过(1,1), (3,3), …, (2n-1,2n-1)的走法数.

4.已知${\forall x，y \in \mathbb{R}，f(x+f(y))=f(f(x))+y，求所有符合条件的f}$.

5.定义：若对正整数${p与x, (x,p)=1, 且sx≡1(mod p），则称s为x模p的数论倒数，记为s≡\frac{1}{x}(mod p）.}$

${现已知p为大于等于5的素数，求证：(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+p}+\frac{1}{x+2p}+…+\frac{1}{x+p(p-1)})^2≡\frac{p^2}{x^2}+\frac{p^3}{x^3}(mod p^4)}$.

6.给定${n \in \mathbb{N^*}且n}$≥3，对平面上的不共线的n个点，用线段连接它们中的一部分，且连出的线段只在给定的n个点处相交.求能连出的线段条数的最大值.