数学 数学题分享1.
鉴于数学区的水分，为了避免数学区沦陷成为质心幼儿园，我将启动MAR计划（数学区复兴计划）
措施包括但不限于向数学区投题(难度预备轮到二轮不限)，发问，解惑，传资料等等，同时我也向各位呼吁，如果要发那种很无意义的水帖
可以参考很久之前的一种措施一一水帖附带知识点的模式，也能去掉一定的水分（当然了只是我的呼吁）
希望数学区能变得更好捏
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发水帖之前不如先来做道题吧~
Q：在1，2，……，1000这1000个正整数中，依次随机取两个数p，q(p和q可以相等)，设先取出的数为p，求$\dfrac{p}{q}$大于$\dfrac{3}{4}$的概率
- 1
解答：
注意到$\dfrac{p}{q} \>\dfrac{3}{4}$等价于$4p\>3q$，考虑以下两个集合
$A={4×1，4×2，……4×1000}，B={3×1，3×2，……3×1000}$
$问题转化为在A，B中各取一数P_a，P_b，使P_a\>P_b$
$若在A集合中取比750×4更大的数，由于4×751\>3×1000，此时在B集合中无论怎样取都会有上不等式成立$
$共(1000-751+1)×1000=250000(种)取法$
$若在A中取比751×4小的数，则按除以3后的余数分类$
$若在A集合中取4(3k+1)型数，∵4(3k+1)\>3(4k+1)=12k+3$
$所以在B集合最大可以取12k+3，共可取\dfrac{12k+3}{3}=4k+1(个)数$
$同理，按P_a与2和3模3同余分别可以取4k+2和4k+3个数，其中k从0到249=\dfrac{750}{3}-1$
$而1到750中3k+1，3k+2，3k+3型数均有250个$
$此时共有4(1+2+……+249)×3+250×(1+2+3)=6×250^2种取法$
$总共有1000^2取法，算上前面的便可得所求概率p为\dfrac{5}{8}$