物理

[论坛资料室]闲证定理一n倍角公式

$设复数z=\operatorname{cos}x+i\operatorname{sin}x=e^{ix}$

$则z^n=\operatorname{cos}nx+i\operatorname{sin}nx①=(\operatorname{cos}x+i\operatorname{sin}x)^n$

$由二项式定理展开得:(\operatorname{cos}x+i\operatorname{sin}x)^n$

$=C_n^0 \operatorname{cos^n}x+C_n^1 \operatorname{cos^{n-1}}x i\operatorname{sin}x+……+C_n^r \operatorname{cos^{n-r}}x$ $i\operatorname{sin^r}x+……C_n^n i\operatorname{sin^n}x$

$注意到有i^2=-1$

$接下来进行分类讨论，当n为偶数时:$

$显然偶数项的虚数单位被消掉变为(-1)^k，奇数项仍保留虚数单位i，对z的n次方展开式进行整理得到形如z^n=A+Bi的式子$

$与①式进行比较可得\begin{cases} A=\operatorname{cos}nx \\ B=\operatorname{sin}nx \end{cases}$

$而A=C_n^0 \operatorname{cos^n}x-C_n^2 \operatorname{cos^{n-2}}x \operatorname{sin^2}x+……+(-1)^{\dfrac{n-2}{2}}C_n^{n-2}$ $\operatorname{cos^2}x \operatorname{sin^{n-2}}x+(-1)^\dfrac{n}{2}C_n^n \operatorname{sin^n}x$

$B=C_n^1 \operatorname{cos^{n-1}}x \operatorname{sin}x-C_n^3 \operatorname{cos^{n-3}}x \operatorname{sin^3}x+……$

$+(-1)^{\dfrac{n-4}{2}}C_n^{n-3} \operatorname{cos^3}x \operatorname{sin^{n-3}}x+(-1)^{\dfrac{n-2}{2}}C_n^{n-1} \operatorname{cos}x$ $\operatorname{sin^{n-1}}x$

$整理成通项可得:$

$\operatorname{cosnx}=\sum_{k=0}^n(-1)^{\dfrac{k}{2}}C_n^k(\operatorname{cosx})^{n-k}(\operatorname{sinx})^k，k为偶数$

$\operatorname{sinnx}=\sum_{k=1}^n(-1)^{\dfrac{k-1}{2}}C_n^k(\operatorname{cosx})^{n-k}(\operatorname{sinx})^k，k为奇数$

$当n为奇数时，操作手法与n为偶数时相同，这里直接放结果:$

$\operatorname{cosnx}=\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{\dfrac{k}{2}}C_n^k(\operatorname{cosx})^{n-k}(\operatorname{sinx})^k，k为偶数$

$\operatorname{sinnx}=\sum_{k=1}^n(-1)^{\dfrac{k-1}{2}}C_n^k(\operatorname{cosx})^{n-k}(\operatorname{sinx})^k，k为奇数$

完