物理

[论坛资料室]闲证定理——一般一元二次方程求根公式

这是一个一般一元二次方程：

$ax^2+bx+c=0~~~~(a\ne 0)$

$试用a,b,c表示x$

解：

分类讨论

$(i)当x\ne 0时$

$等式两边同除x得$

$ax+b+\frac{c}{x}=0$

移项得

$ax+\frac{c}{x}=-b~~~~~~~~~~~~(1)$

等式两边同时平方并展开得

$a^2 x^2 +2ac+\frac{c^2}{x^2}=b^2$

配方得

$a^2 x^2 -2ac+\frac{c^2}{x^2}=b^2 -4ac$

因式分解得

$(ax-\frac{c}{x})^2=b^2 -4ac$

分类讨论

$(a)当b^2-4ac＜0时$

原方程无解

$(b)当b^2-4ac\ge 0时$

$ax-\frac{c}{x}=\pm\sqrt{b^2-4ac}~~~~~~~~~~~~(2)$

$(1)+(2)得$

$2ax=-b\pm\sqrt{b^2-4ac}$

去分母得

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}~~~~~~~~~~~~(3)$

$(ii)当x=0时$

代回得

$c=0$

代回得

$ax^2+bx=0$

因式分解得

$x(ax+b)=0$

所以另一解满足

$ax+b=0$

移项得

$ax=-b$

去分母得

$x=-\frac{b}{a}$

$令(3)式中c=0得$

$x=\frac{-b\pm b}{2a}$

即

$x=0或x=-\frac{b}{a}$

此时

$b^2-4ac=b^2\ge 0$

综上：

$当b^2-4ac\ge 0时$

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$当b^2-4ac＜0时$

原方程无解

论证多有不严谨之处，望包涵