数学 抽象代数——群的同构定理(c)第三同构定理
第三同构定理回答了以下问题：假设我有一个嵌套的子群序列 $K\subset N\subset G$。我可以将整个 $N$ 商出去，得到轨道集 $G/N$。（在此过程中，$K$ 也被商掉了，因为 $K$ 包含在 $N$ 中。）或者，我可以尝试逐步商出去：首先取 $G/K$，然后再商去剩余的 $N$。结果是一样的吗？答案是肯定的，如果 $K$ 和 $N$ 都是 $G$ 的正规子群（这样才能谈论商群），最终的结果是相同的群。
命题 存在子群 $K\subset N\subset G$。存在一个单射$$f: N/K\to G/K.$$证明：对于 $N/K$ 中的任何陪集 $nK$（其中 $n \in N$），定义：$$f(nK) = nK \in G/K.$$这仅意味着我们将来自 $N/K$ 的陪集 $nK$ 视为 $G/K$ 中的一个元素。
良定义性：如果在 $N/K$ 中 $n_1K = n_2K$，则 $n_1^{-1}n_2 \in K$。因为 $K \subset G$，这也意味着在 $G/K$ 中 $n_1K = n_2K$。因此，$f$ 是良定义的。
如果 $f(n_1K) = f(n_2K)$，那么在 $G/K$ 中 $n_1K = n_2K$，意味着 $n_1^{-1}n_2 \in K$。这表明在 $N/K$ 中 $n_1K = n_2K$。因此，$f$ 是单射。
因此，存在一个单射 $f: N/K \to G/K$。$$~\tag*{$\square$}$$这些只是集合之间的映射，还不是群。毕竟，我们还没有假设 $K$ 是 $G$ 中的正规子群。
命题 设 $K\subset N\subset G$ 是子群，且 $K$ 是 $G$ 中的正规子群。那么 $K\triangleleft N$。
证明：因为 $K \triangleleft G$，对于任何 $g \in G$ 和 $k \in K$，我们有：$$gkg^{-1} \in K.$$特别地，这对任何 $n \in N$ 也是成立的，因为 $N \subset G$。因此，对于任何 $n \in N$ 和 $k \in K$：$$nkn^{-1} \in K。$$这表明 $K$ 是 $N$ 的正规子群，所以 $K \triangleleft N$。$$~\tag*{$\square$}$$现在我们可以谈论 $G/K$ 和 $N/K$ 作为群。
命题 设 $K\subset N\subset G$ 是子群。单射 $f: N/K\to G/K$ 是一个群同态。
证明：对于 $N/K$ 中的任何 $n_1K, n_2K$，在 $N/K$ 中的乘积是：$$(n_1K) \cdot (n_2K) = (n_1n_2)K.$$应用 $f$：$$f((n_1K) \cdot (n_2K)) = f((n_1n_2)K) = (n_1n_2)K.$$另一方面：$$f(n_1K) \cdot f(n_2K) = (n_1K) \cdot (n_2K) = (n_1n_2)K.$$由于两边相等，$f$ 是一个群同态。$$~\tag*{$\square$}$$这表明 $N/K$ 作为 $G/K$ 的一个子群。
命题 设 $K\subset N\subset G$ 是子群。存在一个双射$$\psi: G/N\to (G/K)/(N/K).$$
证明：对于 $G/N$ 中的任何陪集 $gN$，定义：$$\psi(gN) = gK \in (G/K)/(N/K).$$这意味着 $gK$ 被视为 $G/K$ 中的一个陪集，以 $N/K$ 为单位的子群。
良定义性：如果 $g_1N = g_2N$，则 $g_1^{-1}g_2 \in N$，所以在 $(G/K)/(N/K)$ 中 $g_1K$ 和 $g_2K$ 是相同的。因此，$\psi$ 是良定义的。
单射性：如果 $\psi(g_1N) = \psi(g_2N)$，那么在 $(G/K)/(N/K)$ 中 $g_1K$ 和 $g_2K$ 是相同的双陪集，意味着 $g_1N = g_2N$。所以 $\psi$ 是单射的。
满射性：对于 $(G/K)/(N/K)$ 中的任何陪集 $gK$，存在一个对应的 $gN \in G/N$，使得 $\psi(gN) = gK$。因此，$\psi$ 是满射的。
因此，$\psi$ 是一个双射。$$~\tag*{$\square$}$$这只是两个集合之间的函数。为了明确，在右侧，我们利用了 $N/K$ 对 $G/K$ 的作用，因为 $N/K$ 是一个子群。商集 $(G/K)/(N/K)$ 是这个作用的通常轨道空间。
命题 设 $G$ 是有限群，$K\subset N\subset G$ 是子群，则$$|G/N|=|G/K|/|N/K|.$$证明：$|G/N|$ 是 $N$ 在 $G$ 中的陪集数量。
$|G/K|$ 是 $K$ 在 $G$ 中的陪集数量。
$|N/K|$ 是 $K$ 在 $N$ 中的陪集数量。
$G$ 中 $N$ 的每个陪集对应于 $G$ 中 $K$ 的 $|N/K|$ 个陪集。因此：$$|G/K| = |G/N| \cdot |N/K|.$$重新排列得到：$$|G/N| = \frac{|G/K|}{|N/K|}.$$$$~\tag*{$\square$}$$
定理(第三同构定理) 设 $G$ 是一个群。设 $K\triangleleft G$ 且 $N\triangleleft G$，满足 $K\subset N\subset G$。那么商群 $N/K$ 是 $G/K$ 的正规子群，并且$$(G/K)/(N/K)\cong G/N。$$证明：
- $N/K$ 是 $G/K$ 的正规子群：
由于 $N$ 是 $G$ 的子群，$N/K$ 是 $G/K$ 的子群。
对于 $G/K$ 中的任何陪集 $gK$ 和 $N/K$ 中的 $nK$，考虑共轭：$(gK)(nK)(gK)^{-1}=gKnKg^{-1}K=gng^{-1}K$。
由于 $N\triangleleft G$，$gng^{-1}\in N$。
因此，$gng^{-1}\in N/K$。
因此，$(gK)(nK)(gK)^{-1}\in N/K$。
所以 $N/K\triangleleft G/K$。
- 定义自然同态 $\phi:G/K\to G/N$，其中 $\phi(gK)=gN$。这是良定义的，即如果 $gK=g^{\prime} K$，则 $\phi(gK)=\phi(g^{\prime}K)$。
如果 $gK=g^{\prime}K$，则 $g^{-1}g^{\prime}\in K\subset N$。
因此，$g^{-1}g^{\prime}\in N$，所以 $gN=g^{\prime}N$。
因此，$\phi(gK)=gN=g^{\prime}N=\phi(g^{\prime}K)$。
- $\phi$ 是一个满射的群同态：
对于 $G/K$ 中的任意 $gK, hK$：$$\phi((gK)(hK))=\phi(ghK)=ghN=(gN)(hN)=\phi(gK)\phi(hN).$$因此，$\phi$ 是一个同态。
对于 $G/N$ 中的任意 $gN$，存在一个 $gK\in G/K$，使得 $\phi(gK)=gN$。因此，$\phi$ 是满射的。
- 确定 $\phi$ 的核：
$\ker(\phi)={gK\in G/K\mid \phi(gK)=N}$。
$\phi(gK)=gN=N$ 意味着 $g\in N$。
因此，$\ker(\phi)={gK\mid g\in N}=N/K$。
- 应用第一同构定理：
如果 $\phi: G/K\to G/N$ 是一个满射同态，且核为 $N/K$，则$$(G/K)/\ker(\phi)\cong\mathrm{im}(\phi)=G/N.$$由于 $\ker(\phi)=N/K$，我们有$$(G/K)/(N/K)\cong G/N.$$$$~\tag*{$\square$}$$
例 设 $G=\mathbb{Z}$，$N=4\mathbb{Z}$，$K=12\mathbb{Z}$。
$N/K=4\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\cong\mathbb{Z}_{3}$。
$G/K=\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\cong\mathbb{Z}_{12}$。
$(G/K)/(N/K)=(\mathbb{Z}_{12})/(\mathbb{Z}_{3})\cong\mathbb{Z}_{4}$。
$G/N=\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\cong\mathbb{Z}_{4}$。
$(G/K)/(N/K)\cong G/N\cong\mathbb{Z}_{4}$。