数学

抽象代数——群的同构定理(b)第二同构定理

确定一个群 $G$。设 $S\subset G$ 是一个子群，$N\triangleleft G$ 是一个正规子群。

命题 设 $SN$ 是 $G$ 中所有形如 $sx$ 的元素的集合，其中 $s\in S$ 且 $x\in N$。这是 $G$ 的一个子群。

证明：给定 $s_{1}, s_{2}\in S$ 和 $x_{1}, x_{2}\in N$，我们有$$s_{1}x_{1}s_{2}x_{2}=s_{1}s_{2}s_{2}^{-1}x_{1}s_{2}x_{2}=s_{1}s_{2}x^{\prime} x_{2}$$对某个 $x^{\prime}\in N$ （因为 $N$ 是正规子群）。并且 $s_{1}s_{2}\in S$ 且 $x^{\prime}x_{2}\in N$ 因为它们都在乘法下封闭。单位元在 $SN$ 中，因为 $1\in S$, $N$ 且 $1\cdot 1=1$。最后，$SN$ 包含逆元，因为$$x^{-1}s^{-1}=(s^{-1}x^{\prime}s)s^{-1}=s^{-1}x^{\prime}$$其中 $x^{\prime}\in N$ 是满足 $x^{\prime}=sx^{-1}s^{-1}$ 的元素。$$~\tag*{$\square$}$$

命题 $N$ 是 $SN$ 的正规子群。

证明：我们知道对于每个 $g\in G$ 和 $x\in N$，$gxg^{-1}\in N$。由于 $SN\subset G$，我们特别有，对于任何 $g\in SN$，$gxg^{-1}\in N$。$$~\tag*{$\square$}$$

命题 $S\cap N$ 是 $S$ 的正规子群。

证明：如果 $x\in S\cap N$，那么对于所有 $s\in S$，我们知道 $sxs^{-1}\in N$，因为 $N$ 是 $G$ 的正规子群。另一方面，$S$ 在乘法下封闭，所以 $sxs^{-1}\in S$ 也是成立的。这表明 $sxs^{-1}\in N\cap S$。

$$~\tag*{$\square$}$$

定理(第二同构定理) 存在一个同构$$S/(S\cap N)\cong SN/N.$$证明：考虑以下同态的复合$$S\to SN\to SN/N$$其中后者是商映射，前者是简单的包含映射（注意 $S\subset SN$）。这个组合是满射的，因为对于任何 $n\in N$，元素 $[sn]\in SN/N$ 等价于元素 $[s]\in SN/N$。它的核是那些在 $N$ 中的元素——即 $S\cap N$。因此，根据第一同构定理，我们完成了证明。

$$~\tag*{$\square$}$$

问题：商集 $[s]$ 在 $S/(S\cap N)$ 中是否定义了 $SN/N$ 中的商集 $[sn]$？$[sn]$ 中的 $n$ 重要吗？

这给了我们另一种第二同构定理的证明方法的提示：

证明：给定 $[sn]\in SN/N$，考虑 $[s]\in S/(S\cap N)$。

我们声称赋值 $\phi: [sn]\mapsto [s]$ 是良定义的。如果 $sn=s^{\prime}n^{\prime}x$ 且 $x\in N$，那么$$s=s^{\prime}(n^{\prime}xn^{-1})。$$我们必须证明元素 $n^{\prime}xn^{-1}$ 在 $S\cap N$ 中。我们可以通过在等式两边左乘 $s^{\prime -1}$ 来看它必须在 $S$ 中。我们知道它在 $N$ 中，因为元素 $n^{\prime}$, $x$, $n^{-1}$ 都在 $N$ 中，且 $N$ 在乘法下封闭。

现在我们证明这是一个群同态：$$\begin{aligned}\phi([s_{1}n_{1}][s_{2}n_{2}])=\phi([s_{1}n_{1}s_{2}n_{2}])&=\phi([s_{1}s_{2}(s_{2}^{-1}n_{1}s_{2}n_{2})])\\&=\phi([s_{1}s_{2}(n^{\prime}s_{2})])\\&=[s_{1}s_{2}]\\&=[s_{1}][s_{2}]\\&=\phi([s_{1}n_{1}])\phi([s_{2}n_{2}]).\end{aligned}$$

为了证明它是单射的，我们必须知道核是平凡的。如果 $\phi([sn])=[x]$ 对于 $x\in S\cap N$，那么 $[sn]$ 有一个代表形式 $xn^{\prime}$；但 $x\in X\cap N$，$n^{\prime}\in N$ 意味着 $xn^{\prime}\in N$，由于 $N$ 在乘法下封闭，因此 $[sn]=[sn^{\prime}]=1\in SN/N$。

为了证明它是满射的，注意对于任何 $s\in S$，我们有 $s=s1_{G}\in SN$。所以 $\phi([s1_{G}])=\phi(s)$。

$$~\tag*{$\square$}$$

例 设 $G=S_{4}$，即 $4$ 个元素的对称群。设 $S$ 是由置换 $(12)$ 生成的子群，$N$ 是交错群 $A_{4}$，即 $4$ 个元素的交错群。我们有同构 $S\cong\mathbb{Z}_{2}$。

证明：

• 确定 $S$, $N$ 及其交集：

$S=\langle (12)\rangle$，其阶数为 $2$。

$N=A_{4}$，其阶数为 $12$。

$S\cap N$: 由于 $(12)$ 是一个偶置换，只有当它可以表示为偶数个换位时。但是 $(12)$ 是单个换位，所以 $(12)\notin A_{4}$。因此，$S\cap N={1_{G}}$。

• 计算 $SN$：

$SN$ 由所有可以表示为 $sn$ 的元素组成，其中 $s\in S$ 且 $n\in N$。

由于 $S$ 的阶数为 $2$，$N$ 的阶数为 $12$ 且 $S\cap N={1_{G}}$，因此 $SN$ 的阶数为 $|S||N|/|S\cap N|=(2\times 12)/1=24$。

然而，$G$ 的阶数是 $24$，所以 $SN=G$。

• 应用第二同构定理：$$S\cong S/{1_{G}}\cong S/(S\cap N)\cong (SN)/N\cong G/N\cong S_{4}/A_{4}\cong\mathbb{Z}_{2}。$$$$~\tag*{$\square$}$$