数学

抽象代数——群的同构定理(a)第一同构定理

命题 设 $H\subset G$ 是正规子群。映射$$\begin{aligned}q: G&\to G/H\\g&\mapsto Hg\end{aligned}$$(1) 是一个群同态。

(2) 是满射。

(3) 有核$q$。

证明：(1) $$\begin{aligned}q(g_{1}g_{2})&=Hg_{1}g_{2}\\&=Hg_{1}Hg_{2}\\&=q(g_{1})q(g_{2})\end{aligned}$$(2) 对所有 $Hg\in G/H$，$$Hg=q(g)$$(3) $q(g)=1_{G/H}$ $\Leftrightarrow$ $\begin{aligned}q(g)&=H1_{G}\\&=H\end{aligned}$

但 $Hg=H1_{G}$ $\Leftrightarrow$ $g$ 和 $1_{G}$ 在相同轨道上

$\Leftrightarrow$ $g=h1_{G}$ 对某个 $h\in H$

$\Leftrightarrow$ $g\in H$

所以 $q(g)=1_{G/H}$ $\Leftrightarrow$ $g\in H$。$$~\tag*{$\square$}$$

图像是什么样的？

将 $G$ 视为某个集合

子群 $H\subset G$ 将 $G$ 划分为轨道

而 $G/H$ 塌缩到所有这些轨道：

顺便说一下，

命题 设 $G\xrightarrow{\phi} G^{\prime}$ 是一个群同态。则 $\phi$ 是单射当且仅当$$\ker(\phi)={1_{G}}.$$证明：单射 $\Rightarrow$ $\exists ! g$（如果存在）使得 $\phi(g)=1_{G^{\prime}}$。

由于群同态总是将 $1_{G}$ 映射到 $1_{G^{\prime}}$，所以 $g\in 1_{G}$。

假设 $\ker(\phi)={1_{G}}$。那么$$\begin{aligned}\phi(g_{1})=\phi(g_{2}) &\Rightarrow \phi(g_{1})\phi(g_{2})^{-1}=1_{G^{\prime}}\\&\Rightarrow \phi(g_{1}g_{2}^{-1})=1_{G^{\prime}}\\&\Rightarrow g_{1}g_{2}^{-1}\in\ker(\phi)\\&\Rightarrow g_{1}g_{2}^{-1}=1_{G}\\&\Rightarrow g_{1}=g_{2}\end{aligned}$$

$$~\tag*{$\square$}$$

因此给定任意的正规子群 $H$，商同态 $q$ 表示 $H$ 作为某个群同态的核。

问题：是否每个群同态的核都是正规子群？

命题 设 $\phi:G\to G^{\prime}$ 是一个群同态。那么 $\ker(\phi)$ 是正规子群。

证明：需要证明：$\forall h\in\ker(\phi)$，$\forall g\in G$，$ghg^{-1}\in\ker(\phi)$。

那么，$$\begin{aligned}\phi(ghg^{-1})&=\phi(g)\phi(h)\phi(g^{-1})\\&=\phi(g)1_{G^{\prime}}\phi(g^{-1})\\&=\phi(g)\phi(g^{-1})\&=\phi(gg^{-1})\\&=\phi(1_{G})\\&=1_{G^{\prime}}\end{aligned}$$所以 $ghg^{-1}\in\ker(\phi)$。$$~\tag*{$\square$}$$在这里我们只证明了$$g\ker(\phi)g^{-1}\subset \ker(\phi), \quad\forall g$$以证明 $\ker(\phi)$ 是正规子群。但我们如何证明$$g\ker(\phi)g^{-1}=\ker(\phi)?$$

命题 设 $H\subset G$ 是一个子群。“$\forall g\in G$, $gHg^{-1}\subset H$” 意味着 “$\forall g\in G$, $gHg^{-1}=H$”。

证明：我们需要证明 $\forall g\in G$, $H\subset gHg^{-1}$。

因此固定 $h\in H$。设 $g^{\prime}=g^{-1}$。根据假设，$$g^{\prime}H(g^{\prime})^{-1}\subset H,$$所以$$g^{\prime}h(g^{\prime})^{-1}=h^{\prime}$$对于某个 $h^{\prime}\in H$。那么$$h=gh^{\prime}h^{-1}$$因为$$\begin{aligned}gh^{\prime}g^{-1}&=g(g^{\prime}h(g^{\prime})^{-1})g^{-1}\\&=gg^{-1}hgg^{-1}\\&=h\end{aligned}$$这表明 $h\in gHg^{-1}$。$$~\tag*{$\square$}$$

推论 如果 $H_{1}$, $H_{2}$ 是 $G$ 的正规子群，那么 $H_{1}\cap H_{2}$ 也是正规子群。

证明：设 $h\in H_{1}\cap H_{2}$。则对于所有 $g\in G$，

• $ghg^{-1}\in H_{1}$ 因为 $H_{1}$ 是正规子群。

• $ghg^{-1}\in H_{2}$ 因为 $H_{2}$ 是正规子群。

因此 $ghg^{-1}\in H_{1}\cap H_{2}$。

$\Rightarrow$ 对于所有 $g\in G$，$gH_{1}\cap H_{2}g^{-1}\subset H_{1}\cap H_{2}$。$$~\tag*{$\square$}$$

注意

命题 如果 $H_{1}$, $H_{2}$ 只是 $G$ 的子群，那么 $H_{1}\cap H_{2}$ 也是 $G$ 的一个子群。

证明：$1_{G}\in H_{1}$ 和 $H_{2}$，因为它们都是子群。

因此$$1_{G}\in H_{1}\cap H_{2}.$$如果 $g$ 和 $g^{\prime}$ 在 $H_{1}\cap H_{2}$ 中，那么

• $gg^{\prime}\in H_{1}$ 因为 $H_{1}$ 是子群

• $gg^{\prime}\in H_{2}$ 因为 $H_{2}$ 是子群

因此$$gg^{\prime}\in H_{1}\cap H_{2}.$$对逆元也是类似。$$~\tag*{$\square$}$$

现在假设你有一个群 $G$，以及一些任意的集合$$I$$其元素在 $G$ 中。（$I$ 不一定是一个子群；它只是 $G$ 中的一些元素的随机列表。）

问题：你能找到一个包含 $I$ 的 $G$ 的正规子群吗？

那么，$G$ 本身是 $G$ 的一个正规子群。并且它当然包含 $I$。

问题： 我们能得到更小的子群吗？

可以。考虑交集$$\bigcap H$$集合 $\{H\subset G\mid H~\text{是正规子群且}~H~\text{包含}~I\}$ 不是空的，因为 $G$ 在其中。因此，我们通过这个交集得到 $G$ 的一个正规子群（根据前面的推论）。这是一种很好的构造方式。

命题 设 $\phi:G\to G^{\prime}$ 是一个满射群同态。那么 $\exists$ 一个同构 $G/\ker(\phi)\xrightarrow{\cong} G^{\prime}$。

证明：给定一个满射群同态$$\phi:G\to G^{\prime},$$设 $H=\ker(\phi)$。注意，如果 $g_{2}\in Hg_{1}$，$$\phi(g_{2})=g_{1}$$因为$$\begin{aligned}\phi(g_{2})&=\phi(hg_{1}), \quad\text{对某些}~h\in H\\&=\phi(h)\phi(g_{1})\\&=1_{G^{\prime}}\phi(g_{1})\\&=\phi(g_{1})\end{aligned}$$所以我们有一个良定义的映射$$\begin{aligned}\psi: G/H&\to G^{\prime}\\Hg&\mapsto \phi(g)\end{aligned}$$（我们已经证明，如果 $Hg_{1}=Hg_{2}$，那么 $\phi(g_{1})=\phi(g_{2})$。）

这是一个同态，因为

$$\begin{align*}\psi(Hg_{1}Hg_{2})&=\psi(Hg_{1}g_{2})\\&=\phi(g_{1}g_{2})\\&=\phi(g_{1})\phi(g_{2})\\&=\psi(Hg_{1})\psi(Hg_{2})\end{align*}$$

它是单射的，因为$$\begin{aligned}\psi(Hg_{1})=1_{G^{\prime}} & \Leftrightarrow \psi(g_{1})=1_{G^{\prime}}\&\Leftrightarrow g_{1}\in H\&\Leftrightarrow Hg_{1}=H1_{G}, \text{即}~G/H~\text{的单位元}\end{aligned}$$

它是满射的，因为 $\phi$ 是满射：$$\forall g^{\prime}\in G^{\prime}, \exists~\text{某个}~g\in G, \text{使得}~\phi(g)=g^{\prime}, \text{因此}~\psi(Hg)=g。$$$$~\tag*{$\square$}$$

推论(第一同构定理) 设 $\phi:G\to G^{\prime}$ 是任意的群同态。那么 $\exists$ 群同构$$G/\ker(\phi)\cong \mathrm{im}(\phi).$$

证明：$\mathrm{im}(\phi)\subset G^{\prime}$ 是一个子群。根据像的定义，群同态 $\phi: G\to G^{\prime}$ 如下分解：

这里，$j$ 是 $\mathrm{im}(\phi)$ 到 $G$ 的嵌入。（这是一个单射的群同态。）$\overline{\phi}$ 是与 $\phi$ 相同的函数，但具有不同的目标/到达域。所以我们看到 $\phi=j\circ \overline{\phi}$。

另外，根据像的定义，$\overline{\phi}$ 是满射。因此，这个命题说明$$G/\ker(\overline{\phi})\cong \mathrm{im}(\phi)$$但 $\ker(\overline{\phi})=\ker(\phi)$，因为 $j(1_{\mathrm{im}(\phi)})=1_{G^{\prime}}$。$$~\tag*{$\square$}$$

命题 设$$O_{n}(\mathbb{R}):=\{n\times n~\text{实矩阵}~A~\text{满足}~A^{\mathrm{T}}A=I\}$$和$$SO_{n}(\mathbb{R}):=\{A\in O_{n}(\mathbb{R})~\text{使得}~\det(A)=1\}.$$那么$$[O_{n}(\mathbb{R}):SO_{n}(\mathbb{R})]=2.$$即 $SO_{n}(\mathbb{R})$ 是 $O_{n}(\mathbb{R})$ 的指数为 $2$ 的子群。

证明：考虑同态$$\begin{aligned}\det:O_{n}(\mathbb{R})&\to \mathbb{R}^{\times}\\A&\mapsto \det(A)\end{aligned}$$因为 $\mathbb{R}^{\times}$ 的单位元是 $1\in\mathbb{R}^{\times}$，所以 $\det$ 的核是 $SO_{n}(\mathbb{R})$。

另一方面，$$\mathrm{im}(\det)={+1,-1}\subset \mathbb{R}^{\times}.$$因此

$$\begin{align*}[O_{n}(\mathbb{R}):SO_{n}(\mathbb{R})]&=|O_{n}(\mathbb{R})/SO_{n}(\mathbb{R})|\\&=|O_{n}(\mathbb{R})/\ker(\det)|\\&=|\mathrm{im}(\det)|\tag*{根据第一同构定理}\\&=|\{+1,-1\}|\\&=2\end{align*}$$

$$~\tag*{$\square$}$$