抽象代数——基本群

定义设$X\subset\mathbb{R}^{n}$为一个子集，并固定$x_{0}\in X$。以$x_{0}$为基点的$X$中的一个闭路径(loop)是一个连续函数

$$[0,1]\xrightarrow{\gamma}\mathbb{R}^{n} \tag*{}$$

满足以下条件：

对于任意$t\in[0,1]$，有$\gamma(t)\in X$。
$\gamma(0)=\gamma(1)=x_{0}$。

例设$X=\mathbb{R}^{n}\setminus\{0\}$，$x_{0}=(1,0)$。

定义给定两条曲线$\gamma_{1}$和$\gamma_{2}$，如果$\gamma_{1}$可以在不改变$\gamma(0)$和$\gamma(1)$的情况下，通过连续变形变为$\gamma_{2}$，我们称$\gamma_{1}$和$\gamma_{2}$同伦(homotopic)。即，如果存在一个连续映射

$$\begin{aligned} \Gamma: [0,1]\times[a,b]&\to X\\ (t,s)&\mapsto \Gamma(t,s) \end{aligned} \tag*{}$$

使得

$\Gamma(t,a)=\gamma_{1}(t)$。
$\Gamma(t,b)=\gamma_{2}(t)$。
对任意$s$，有$\Gamma(0,s)=\Gamma(1,s)=x_{0}$。

其中$[a,b]$是某个区间。

你可以将看作是一段持续$b-a$秒的“路径动画”。

引理若$\gamma_{1}\sim\gamma_{2}$当且仅当$\gamma_{1}$与$\gamma_{2}$同伦，则$\sim$是一个等价关系。

简单来说：

任意路径可以通过“无变形”变回自身。
如果$\gamma_{1}$可以变形为$\gamma_{2}$，则$\gamma_{2}$也可以通过反向变形变回$\gamma_{1}$。
如果$\gamma_{1}$可以变形为$\gamma_{2}$，而$\gamma_{2}$又可以变形为$\gamma_{3}$，那么可以通过连续执行两次变形来将$\gamma_{1}$变形为$\gamma_{3}$。

定义定义

$$\pi_{1}(X,x_{0})=\{\text{以}~x_{0}~\text{为基点的闭路径}\}/\sim.\tag*{}$$
称其为以$x_{0}$为基点的$X$的基本群(fundamental group)。

基本群的复合如下：

$$\begin{aligned} \pi_{1}(X,x_{0})\times\pi_{1}(X,x_{0})&\to\pi_{1}(X,x_{0})\\ ([\gamma_{b}],[\gamma_{a}])&\mapsto [\gamma_{b}][\gamma_{a}]. \end{aligned} \tag*{}$$

给定两条路径$\gamma_{a}$和$\gamma_{b}$，考虑路径

$$\begin{aligned} \widetilde{\gamma_{b}\circ\gamma_{a}}:[0,2]&\to X\\ t&\mapsto\begin{cases} \gamma_{a}(t)&\text{若}~t\in[0,1]\\ \gamma_{b}(t-1)&\text{若}~t\in[1,2] \end{cases} \end{aligned} \tag*{}$$

将区间$[0,2]$重缩放到$[0,1]$，得到路径

$$\begin{aligned} \gamma_{b}\circ\gamma_{a}:[0,1]&\to X\\ t&\mapsto\begin{cases} \gamma_{a}(2t)&\text{若}~t\in\left[0,\frac{1}{2}\right]\\ \gamma_{b}(2t-1)&\text{若}~t\in\left[\frac{1}{2},1\right] \end{cases} \end{aligned} \tag*{}$$

定义$[\gamma_{b}][\gamma_{a}]=[\gamma_{b}\circ\gamma_{a}]$。

例考虑$X=\mathbb{R}^{2}\setminus\{p,q\}$， $x_{0}$是任意点。