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积分术法（Oλοκλήρωση Μαγεία）原典（卷五）

积分术法（Oλοκλήρωση Μαγεία）原典

自由基注：2025.5.3，我对积分术法进行了修订，修改了一些无法显示的错误内容。

零、写在正文前的话

本书是积分术法（Oλοκλήρωση Μαγεία）的原典。本原典是由活性自由基（AFR，英语全名Active Free Radical，希腊语名δραστικός ελεύθερος ρίζα）汇总历代大师在积分方面的50项研究成果而成的。原典的原文由希腊语撰写，并由ἄπειρον学派成员37（英文全名Thirty-Seven，希腊语名Τριάντα-Επτά）译成汉语。

本卷是原典的第五卷，收录习题。

习题

1.计算下列不定积分

$$\int \frac{x^3 + 2x^2 + 3x + 4}{x^2 + 1} \, dx$$

$$\int \frac{\ln(x)}{x^2} \, dx$$

$$\int \frac{1}{x^3 \sqrt{x^2 - 1}} \, dx$$

$$\int \frac{\sin^3(x)}{\cos^5(x)} \, dx$$

$$\int \frac{e^x \sin(x)}{1 + e^{2x}} \, dx$$

$$\int \frac{1}{x \ln(x)\sqrt{\ln^2(x) - 1}} \, dx$$

$$\int \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^4}} \, dx$$

$$\int \frac{\arctan(x)}{x^2} \, dx$$

$$\int \frac{\sin(x)}{x} \, dx$$

$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + \lambda^2} \cdot (x^2 + \lambda^2)} \, dx$$

$$\int \frac{x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 4x + 5}{(x^2 + x + 1)^2} \, dx$$

$$\int \frac{x^6 + x^4 + x^2 + 1}{(x^2 + 1)^3} \, dx$$

$$\int \frac{x^3 + 2x^2 + 3x + 4}{(x^2 + 1)(x^2 + 2x + 2)} \, dx$$

$$\int \frac{x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1}{(x^2 + 1)(x^2 + x + 1)^2} \,dx$$

$$\int \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x^3} \, dx$$

$$\int \frac{1}{\sqrt{x^3 + x^2 + x}} \, dx$$

$$\int \frac{\sqrt{x^4 + 1}}{x^2} \, dx$$

$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2} \cdot (x^2 + b^2)} \, dx \quad (a \neq b)$$

$$\int \frac{\sqrt{x^3 + x}}{x^2 + 1} \, dx$$

2.计算下列定积分

$$\int_0^1 \frac{\sin(x^2)}{x} \, dx$$

$$\int_0^\pi \frac{\cos(x)}{\sqrt{x}} \, dx$$

$$\int_{-\infty}^\infty \frac{x \sin(x)}{x^4 + 1} \, dx$$

$$\int_0^\infty \frac{\ln(x)}{x^2 + 1} \, dx$$

$$\int_{-\infty}^\infty \frac{e^{ax}}{1 + e^x} \, dx$$

其中$a$是$0$到$1$之间的某一常数。

$$\iiint_V \frac{1}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}} \, dx \, dy \, dz$$

其中 $V$是区域 $1 \leq x^2 + y^2 + z^2 \leq 4$。

$$\iint_D \frac{1}{(x^2 + y^2)^2} \, dx \, dy$$

其中$D$是区域$x^2 + y^2 \geq 1$且$x^2 + y^2 \leq 4$。

$$\iiint_V \frac{x^2 + y^2}{(x^2 + y^2 + z^2)^{5/2}} \, dx \, dy \, dz$$

其中$V$是区域$x^2 + y^2 + z^2 \leq 1$。

$$\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin(x)}{x(x^2 - 1)} \, dx$$

$$\int_0^1 \frac{\ln(x)}{x^{3/2}} \, dx$$

$$\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2 \sqrt{1 - x^2}} \, dx$$

3.证明：

$$\mathcal{M}\left[\left(x\frac{d}{dx} \right)^n f(x);s \right]$$

$$=(-s)^n \mathcal{M}\left[f(x);s\right]$$

其中$n \in \mathbb{N}$，$s\in \mathbb{C}$，$\mathcal{M}$是$\text{Mellin}$变换。

4.试证$\text{Poincaré}$不等式

$$\|f-f_{\Omega}\|_{L^p(\Omega)} \leq C \|\nabla f\|_{L^p(\Omega)}$$

其中$\Omega \subset \mathbb{R}^n $是一个有界开集，且$f \in W^{1,p}(\Omega)$，$p$有限，$C$是一个大于零的常数，$f_{\Omega}$是$f$在$\Omega$上的平均：

$$f_{\Omega}=\frac{1}{|\Omega|} \int_\Omega f(x) \, dx$$

$|\Omega|$是开集$\Omega$的测度。

5.试证$\text{Fefferman-Stein}$不等式

$$||f||_{L^p}\leq C_p||M^{\#}f||_{L^p}$$

其中$C_p$是一个常数，$f\in L^1_{\text{loc}}(\mathbb{R}^n)$，$p$有限。$M^{\#}f$是$\text{Sharp}$极大函数，定义为

$$M^{\#}f(x)=\sup_{\mathcal{Q}\ni x}\frac{1}{|\mathcal{Q}|}\int_{\mathcal{Q}}|f(y)-f_\mathcal{Q}|dy$$

$\mathcal{Q}$是$\mathbb{R}^n$中包含$x$，边平行于坐标轴的方体，$f_{\mathcal{Q}}$是$f$在$\mathcal{Q}$上的平均：

$$f_{\mathcal{Q}}=\frac{1}{|\mathcal{Q}|} \int_\mathcal{Q} f(y) \, dy$$

$|\mathcal{Q}|$是方体$\mathcal{Q}$的测度。