质

物理

积分术法（Oλοκλήρωση Μαγεία）原典（卷三）

积分术法（Oλοκλήρωση Μαγεία）原典

自由基注：2025.5.3，我对积分术法进行了修订，修改了一些无法显示的错误内容。

零、写在正文前的话

本书是积分术法（Oλοκλήρωση Μαγεία）的原典。本原典是由活性自由基（AFR，英语全名Active Free Radical，希腊语名δραστικός ελεύθερος ρίζα）汇总历代大师在积分方面的50项研究成果而成的。原典的原文由希腊语撰写，并由ἄπειρον学派成员37（英文全名Thirty-Seven，希腊语名Τριάντα-Επτά）译成汉语。

本卷是原典的第三卷，收录了第八，九，十章，第二十到二十九种积分术法。

八、复变函数积分术法

实数域之外的的第二位面。

（二十）参数化路径积分术

1.原理：对于一个在区域内解析的函数，根据$\text{Cauchy}$积分定理，可以将积分路径变形为合适的一条线，然后找到积分路径的参数方程，将复平面上的路径积分转化为实变函数的定积分。

2.例子：考虑积分

$$\int_C zdz$$

其中$C$是从$0$到$1+\text{i}$的直线段。  

参数化路径为$z(t) = t + \text{i} t$，$t \in [0, 1]$，则：

$$\int_C z dz = \int_0^1 (t + \text{i} t)(1 + \text{i})dt$$

$$= (1 + \text{i})^2 \int_0^1 t dt = \frac{(1 + \text{i})^2}{2}$$

（二十一）$\text{Cauchy}$积分定理积分术

1.原理：本术法由复分析大师$\text{Augustin Louis Cauchy}$开发。

这是本典中第七个高级术法。

我们使用$\text{Cauchy}$积分定理的一个变体：若函数$f(z)$在单连通区域$D$内解析，则沿任意闭合路径$C$的积分为零，即

$$\oint_C f(z)dz = 0$$

如此简洁的定理，其效果就不用我多说了吧。

2.示例：考虑复积分

$$\oint_C \frac{1}{z}dz$$

其中$C$是单位圆$|z| = 1$。  

由于$\frac{1}{z}$在$C$内解析，根据$\text{Cauchy}$积分定理，积分为$0$。

（二十二）$\text{Cauchy}$积分公式积分术

1.原理：本术法同样由复分析大师$\text{Augustin Louis Cauchy}$开发。

这是本典中第八个高级术法。

$\text{Cauchy}$积分公式表述如下：

若$f(z)$在闭合路径$C$及其内部解析，$z_0$在$C$内，则：

$$f(z_0) = \frac{1}{2\pi\text{i}} \oint_C \frac{f(z)}{z - z_0}dz$$

这个定理有效地将函数的值和函数的积分联系在一起。

除了这两个术法，$\text{Cauchy}$还开发了一个把积分和导数联系在一起的术法：高阶导数$\text{Cauchy}$积分公式术。有兴趣者可以咨询查阅学习，由于跟积分没有太大关系，这里不再介绍。

2.示例：考虑复积分

$$\oint_C \frac{e^z}{z - 1} dz$$

其中$C$是圆周$|z| = 2$。  

由于$e^z$在$C$内解析，$z_0 = 1$在$C$内，由$\text{Cauchy}$积分公式：

$$\oint_C \frac{e^z}{z - 1} \, dz = 2\pi\text{i}e$$

（二十三）留数定理积分术

1.原理：本典中第九个高级术法。

留数定理表述为：

若$f(z)$在闭合路径$C$内除有限个奇点外解析，则：

$$\oint_C f(z) \, dz = 2\pi\text{i}\sum\text{Res}(f, z_k)$$

其中$\text{Res}(f, z_k)$是$f(z)$在奇点$z_k$处的留数（即$f(z)$在$z_0$处$\text{Laurent}$展开的负幂项$c_{-1}(z-z_0)^{-1}$的系数$c_{-1}$）。

留数定理充分的解决了有奇点的函数的积分问题。

2.示例：考虑复积分

$$\oint_C \frac{1}{z^2 + 1}dz$$

其中$C$是圆周$|z| = 2$。  

被积函数在$C$内的奇点为$z =\text{i}$和$z = -\text{i} $，留数分别为$\frac{1}{2 \text{i}}$和$-\frac{1}{2 \text{i}}$，因此：

$$\oint_C \frac{1}{z^2 + 1} \, dz = 2\pi \text{i} \left( \frac{1}{2 \text{i}} - \frac{1}{2 \text{i}} \right) = 0$$

（二十四）变形路径积分术

1.原理：通过变形积分路径，避开奇点或简化积分计算。很简单，没有公式，用起来也很自然。其强大之处在于可以把实积分转换到复数域解决（见示例）。

2.示例：考虑积分

$$\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{x^2 + 1}dx$$

将实轴积分路径变形为上半平面的半圆路径，利用留数定理计算：

$$\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{x^2 + 1}dx = 2\pi\text{i}\text{Res}\left(\frac{1}{z^2 + 1}, \text{i}\right) = 2\pi \text{i}\frac{1}{2\text{i}} = \pi$$

九、高维积分术法

叠加的位面。

（二十五）$\text{Green}$公式积分术

1.原理：本术法由场论和分析学大师$\text{George Green}$开发。

这是本典中第九个高级术法。

$\text{Green}$公式将二维区域上的二重积分转化为该区域边界上的线积分。数学表述为：

对于一个平面区域$D$和其边界$\partial D$，格林公式表示为：

$$\iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dxdy = \oint_{\partial D} Pdx + Qdy$$

其中$P$和$Q$是定义在$D$上的连续可微函数。

2.示例：考虑区域$D$由$y = x^2$和$y = x$围成，求

$$\iint_D (x + y) dxdy$$

使用$\text{Green}$公式，设$P=-\frac{1}{2}y^2$和$Q=\frac{1}{2}x^2$则：

$$\iint_D(x+y) dxdy = \oint_{\partial D}-\frac{1}{2}y^2dx +\frac{1}{2}x^2dy$$

这个线积分不好算，我不算了。

（二十六）$\text{Gauss}$散度公式积分术

1.原理：本术法由人类最伟大的数学家之一，分析学，数论与微分几何学大师$\text{Carolus Fridericus Gauss}$开发。

这是本典中第十个高级术法。

高斯公式将三维区域上的三重积分转化为该区域边界上的面积分。

对于空间区域$V$和其边界$\partial V$，$\text{Gauss}$散度公式表述为：

$$\iiint_V \nabla \cdot \vec{F} \, dV = \oiint_{\partial V} \vec{F} \cdot \vec{n} dS$$

其中，$\vec{F}$是向量场，$\vec{n}$是边界曲面的外法向量。

2.示例: 考虑三重积分

$$\iiint_V (x^2 + y^2 + z^2) dV$$

其中$V$是单位球。设$\vec{F} = (x^3, y^3, z^3)$，则

$$\iiint_V(x^2 + y^2 + z^2) dV=\frac{1}{3}\oiint_{\partial V}(x^3, y^3, z^3)\cdot \vec{n} dS$$

这个面积分不好算，我不算了。

（二十七）$\text{Stokes}$旋度公式积分术

1.原理： 本术法由千禧难题$\text{Navier-Stokes}$猜想提出者之一，流体力学与分析学大师$\text{George Gabriel Stokes}$开发。

$\text{Stokes}$旋度公式将曲面上的面积分转化为该曲面边界上的线积分。数学表述为：

对于曲面$S$和其边界$\partial S$，$\text{Stokes}$旋度公式表示为：

$$\iint_S (\nabla \times \vec{F}) \cdot \vec{n}dS = \oint_{\partial S}\vec{F}\cdot d\vec{r}$$

其中，$\nabla \times \vec{F}$是向量场$\vec{F}$的旋度，$\vec{n}$是曲面的法向量。

2.示例：考虑曲面积分

$$\iint_S (\nabla \times \vec{F}) \cdot \vec{n}dS$$

其中$\vec{F} = (y, z, x)$，$S$是上半球面。

这个积分可以用公式转换为线积分，留作习题吧。

（二十八）变量替换法术

1.原理:：变量替换术本质上是坐标变换，通过引入新的变量简化高维积分的计算。

对于积分

$$\iiint_V f(x, y, z) dxdydz$$

通过变量替换$x = x(u, v, w)$，$y = y(u, v, w)$，$z = z(u, v, w)$，积分变为：

$$\iiint_V f(x, y, z) dxdydz$$

$$=\iiint_{V'} f(u,v,w)\text{det}(J)dudvdw$$

其中，$\text{det}(J)$是$\text{Jacobi}$行列式：

$$\text{det}(J)= \text{det}\left(\frac{\partial x_i}{\partial u_j}\right)$$

$$\text{det}(J^{-1})= \text{det}\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\right)$$

2.示例：考虑三重积分

$$\iiint_V e^{x+y+z} dxdydz$$

其中$V$是由$x + y + z = 1$和坐标轴围成的四面体。

我们可以考虑变量替换$u = x + y + z$，$v = y + z$，$w = z$。

我就算到这儿，剩下的交给你了。

十、含参变量积分术法

那就叫它…降维打击好了。

（二十九）参变积分术

1.原理：设函数$f(x,y)$在矩形区域

$$D=\{(x,y)\mid a\leq x\leq b,c\leq y\leq d \}$$

上连续，则参变积分

$$\varphi(y)=\int_{a}^{b}f(x,y)dx$$

在$[c,d]$上连续。

进一步，如果$f(x,y)$及$f_y(x,y)$在$D$上连续，那么$\varphi(y)$在$[c,d]$上可导，且

$$\varphi^\prime(y)=\int_{a}^{b}f_y(x,y)dx$$

这就是含参变量积分的求导法则。通过引入适当的参变量，将原积分转化为参变积分，利用参变积分的性质一定程度上可以简化积分。

2.示例：考虑积分

$$\int_{0}^{1}\frac{x^{b}-x^{a}}{\ln x}dx$$

（$a,b\gt0$）。令

$$I(y)=\int_{0}^{1}\frac{x^{y}}{\ln x}dx$$

对$I(y)$求导得

$$I^\prime(y)=\int_{0}^{1}\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{x^{y}}{\ln x}\right)dx=\int_{0}^{1}x^{y}dx=\frac{1}{y + 1}$$

（$y\gt - 1$）。对$I^\prime(y)$积分得$I(y)=\ln(y + 1)+C$。

当$y = 0$时，

$$I(0)=\int_{0}^{1}\frac{1}{\ln x}dx$$

这个积分在常规意义下不存在，但我们可以通过极限来确定$C$。

$$I(0)=\lim_{y\rightarrow0^{+}}\int_{0}^{1}\frac{x^{y}}{\ln x}dx$$

即$I(y)=\ln(y + 1)+C$，$\lim_{y\rightarrow0^{+}}I(y)=C$。而

$$\int_{0}^{1}\frac{x^{b}-x^{a}}{\ln x}dx$$

$$=I(b)-I(a)=\ln(b + 1)-\ln(a + 1)=\ln\frac{b + 1}{a + 1}$$

（卷三完）