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积分术法（Oλοκλήρωση Μαγεία）原典（卷二）

积分术法（Oλοκλήρωση Μαγεία）原典

自由基注：2025.5.3，我对积分术法进行了修订，修改了一些无法显示的错误内容。

注：此图作者是鬼针草。

零、写在正文前的话

本书是积分术法（Oλοκλήρωση Μαγεία）的原典。本原典是由活性自由基（AFR，英语全名Active Free Radical，希腊语名δραστικός ελεύθερος ρίζα）汇总历代大师在积分方面的50项研究成果而成的。原典的原文由希腊语撰写，并由ἄπειρον学派成员37（英文全名Thirty-Seven，希腊语名Τριάντα-Επτά）译成汉语。

本卷是原典的第二卷，收录了第五，六，七章，第十到十九种积分术法。

五、含根式的积分术法

看吧，来自无理数的疯狂！（星锑？）

（十一）简单根式换元术

1.原理：当被积函数中含有形如$\sqrt[n]{ax + b}$（$n\in \mathbb{Z}_+$）的根式时，令$t=\sqrt[n]{ax + b}$则$x=\frac{t^n - b}{a}$，$dx=\frac{nt^{n - 1}}{a}dt$，就能求解了。

2.示例：

$$\int \frac{1}{\sqrt{x + 1}}dx=\int \frac{2t}{t}dt=\int 2dt$$

$$=2t + C=2\sqrt{x + 1}+C$$

其中$t=\sqrt{x + 1}$。

（十二）三角代换术（用于含$\sqrt{a^2 - x^2}$，$\sqrt{x^2 + a^2}$，$\sqrt{x^2 - a^2}$型根式）

1.原理：

·当被积函数含有$\sqrt{a^2 - x^2}$时，令$x = a\sin t$（$t\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$），则$\sqrt{a^2 - x^2}=a\cos t$，$dx = a\cos tdt$。

·当含有$\sqrt{x^2 + a^2}$时，令$x = a\tan t$（$t\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$），则$\sqrt{x^2 + a^2}=a\sec t$，$dx = a\sec^{2}tdt$。

·当含有$\sqrt{x^2 - a^2}$时，令$x = a\sec t$（$t\in(0,\frac{\pi}{2})\cup(\frac{\pi}{2},\pi)$），则$\sqrt{x^2 - a^2}=a\tan t$，$dx = a\sec t\tan tdt$。

这样就将无理积分转化成三角函数的积分，而关于三角函数的积分术已经总结过了。

2.示例：考虑积分

$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 4}}dx$$

令$x = 2\tan t$，$t\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$，则$\sqrt{x^2 + 4}=2\sec t$，$dx = 2\sec^{2}tdt$。原积分

$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 4}}dx=\int \frac{2\sec^{2}t}{2\sec t}dt$$

$$=\int \sec tdt=\ln|\sec t+\tan t|+C$$

又因为$\tan t=\frac{x}{2}$，$\sec t=\sqrt{1+\tan^{2}t}=\sqrt{1+\frac{x^{2}}{4}}=\frac{\sqrt{x^{2}+4}}{2}$，所以原积分

$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 4}}dx=\ln|\frac{\sqrt{x^{2}+4}}{2}+\frac{x}{2}|+C$$

$$=\ln|\sqrt{x^{2}+4}+x|-\ln2+C$$

$$=\ln|\sqrt{x^{2}+4}+x|+C$$

（十三）$\text{Euler}$代换术

1.原理：

本术法由人类最伟大的数学家之一，“所有人的老师”，分析学与力学大师$\text{Leonhard Euler}$开发，是非常强大的术法，也是本典中第二个高级积分术法。

·$\text{Euler}$第一代换术：

对于

$$\int R(x,\sqrt{ax^{2}+bx + c})dx\,\,\,(a\gt0)$$

令

$$\sqrt{ax^{2}+bx + c}=t\pm\sqrt{a}x$$

两边平方后，代数变换可将$x$用$t$表示，原积分就转化为关于$t$的有理函数积分。

· $\text{Euler}$第二代换术

对于

$$\int R(x,\sqrt{ax^{2}+bx + c})dx\,\,\,(c\gt0)$$

令

$$\sqrt{ax^{2}+bx + c}=xt\pm\sqrt{c}$$

再使用类似方法处理即可。

·$\text{Euler}$第三代换术：当$ax^{2}+bx + c$有两个不同实根$\lambda$和$\mu$时，即

$$ax^{2}+bx + c=a(x - \lambda)(x - \mu)$$

令$\sqrt{ax^{2}+bx + c}=t(x - \lambda)$，然后通过代数变换将$x$用$t$表示，进而转化为有理函数积分。

·$\text{Euler}$第四代换术：当$ax^{2}+bx + c$有重根时，令

$$\sqrt{ax^{2}+bx + c}=(x - \kappa)t$$

（$\kappa$为根），进行类似的代换求解。

2.示例：考虑积分

$$\int\frac{1}{x+\sqrt{x^{2}+x + 1}}dx$$

令$\sqrt{x^{2}+x + 1}=tx - 1$，则

$$x=\frac{2t + 1}{t^{2}-1}$$

$$dx=\frac{2(t^{2}-1)-2t(2t + 1)}{(t^{2}-1)^{2}}dt=\frac{-2t^{2}-2t - 2}{(t^{2}-1)^{2}}dt$$

则原积分变为

$$\int \frac{1}{\frac{2t + 1}{t^{2}-1}+\frac{t^{2}+t + 1}{t^{2}-1}} \frac{-2t^{2}-2t - 2}{(t^{2}-1)^{2}}dt$$

这是一个有理函数的积分，请你自行根据有理函数积分术解决，当作习题了。

什么？你问我要答案？呃，没算，所以没有。

六、级数与变换积分术法

古典分析在此巅峰造极。

（十四）$\text{Taylor}$级数积分术

1. 原理：本术法由数值计算与分析学大师$\text{Brook Taylor}$开发。

这是本典中第三个高级术法。

如果函数$f(x)$在某区间内可以展开成$\text{Taylor}$级数

$$f(x)=\sum_{n = 0}^{\infty}a_n(x - x_0)^n$$

那么

$$\int f(x)dx=\int \sum_{n = 0}^{\infty}a_n(x - x_0)^n dx=\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{a_n}{n + 1}(x - x_0)^{n+1}+C$$

（在收敛区间内）。通过将被积函数展开为$\text{Taylor}$级数，然后对每一项积分，可以用级数表示原函数。这种方法虽然得到的不是初等函数，但对于复杂函数，可以取其近似结果。

2. 示例：考虑积分

$$\int e^{-x^{2}}dx$$

$$e^x=\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$$

$$e^{-x^{2}}=\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{(-x^{2})^n}{n!}=\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{n!}$$

则

$$\int e^{-x^{2}}dx=\int \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{n!}dx=\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!(2n + 1)}x^{2n+1}+C$$

（十五）$\text{Forier}$级数积分术

1. 原理：本术法由信号工程领域奠基人，调和分析创始人，分析学与热力学大师$\text{Baron Jean Baptiste Joseph Fourier}$开发。

这是本典中第四个高级术法。

对于周期函数$f(x)$（周期为$2\pi$），它的$\text{Forier}$级数为

$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n = 1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$$

其中

$$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nxdx$$

$$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\,dx$$

在某些情况下，通过对$f(x)$的$\text{Forier}$级数进行积分运算，可以得到一些有效的结果。

2. 示例：考虑$f(x)=x$，$x\in(-\pi,\pi)$，则

$$f(x)=2\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{n + 1}}{n}\sin nx$$

其积分

$$\int f(x)dx=\int 2\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{n + 1}}{n}\sin nxdx$$

$$=2\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{n + 1}}{n}\int \sin nxdx$$

$$=-2\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{n + 1}}{n^{2}}\cos nx+C$$

（在收敛区间内）。这个示例看起来不太聪明，但是这种术法主要是应对特殊周期函数的。

（十六）$\text{Mellin}$积分术

1. 原理：本术法由复分析大师$\text{Hjalmar Mellin}$开发。

这是本典中第五个高级术法。

对于给定的函数$f(x)$，其$\text{Mellin}$变换定义为

$$\mathcal{M}[f(x);s] = \int_{0}^{\infty} x^{s - 1}f(x)dx$$

这里的$s$是一个复参数。通过巧妙地选取合适的变换形式以及对变换后的式子进行一系列运算，再利用$\text{Mellin}$反变换

$$\mathcal{M}^{-1}[\mathcal{M}[f(x);s]] =\frac{1}{2\pi\text{i}}\int_{\lambda-\text{i}\infty}^{\lambda+\text{i}\infty}x^{-s}\mathcal{M}[f(x);s]ds$$

（$\lambda$是实常数）将结果还原回原函数关于积分的表达式。

$\text{Mellin}$反变换的定义不简单，但对于大部分$\text{Mellin}$变换后的函数，都可以直接猜出它$\text{Mellin}$反变换（见示例）。

的这种术法的核心在于利用$\text{Mellin}$变换的特性，将一些复杂的积分问题转化为在变换域中相对容易处理的形式。在处理特殊函数时表现非常好。

2. 示例：考虑积分

$$\int_{0}^{\infty} x^{a}e^{-x}dx$$

做$\text{Mellin}$变换：

$$\int_{0}^{\infty} x^{s - 1}e^{-x}dx$$

根据$\text{Gamma}$函数（下面会提到），可知$\text{Mellin}$变换的结果就是$\Gamma(s)$。再利用$\text{Mellin}$反变换得出

$$\int_{0}^{\infty} x^{a}e^{-x}dx=\Gamma(a+1)$$

七、特殊函数积分术

另辟蹊径，有时意想不到的高效。

（十七）$\text{Gamma}$函数积分术

1.原理：从现在开始我们讨论定积分。 

$\text{Gamma}$函数在实数域上定义为

$$\Gamma(s)=\int_{0}^{\infty}t^{s - 1}e^{-t}dt$$

（$s\gt0$），其具有许多重要性质，如

$$\Gamma(s + 1)=s\Gamma(s)$$

$$\Gamma(n)=(n - 1)!$$

（$n\in \mathbb{Z}_+$）等。在一些积分计算中，如果被积函数的形式可以转化为伽马函数的形式，就可以利用伽马函数的性质进行求解。

2.示例：

$$\int_{0}^{\infty}x^{3}e^{-x}dx=\Gamma(4)$$

$$=\Gamma(4)=3\Gamma(3)=6\Gamma(2)=6\Gamma(1)=3! = 6$$

（十八）$\text{Beta}$函数积分术

1.原理：$\text{Beta}$函数定义为

$$B(m,n)=\int_{0}^{1}t^{m - 1}(1 - t)^{n - 1}dt$$

（$m,n\gt0$），并且存在恒等式（有能力的话，可以自己证明一下，需要$\text{Jacobi}$行列式作二重积分的变量替换，这种术法下面也会提及。由于证明过程比较复杂，这里不再演示）

$$B(m,n)=\frac{\Gamma(m)\Gamma(n)}{\Gamma(m + n)}$$

这个术法的使用方法和$\text{Gamma}$函数积分术是异曲同工的。用$\text{Beta}$函数处理一些积分的时候可以做到秒杀（见示例）。

2.示例：

$$\int_{0}^{1}x^{2}(1 - x)^{3}dx=B(3,4)$$

$$=\frac{\Gamma(3)\Gamma(4)}{\Gamma(7)}=\frac{1}{60}$$

（十九）椭圆积分术

1.原理：这是本典中第六个高级术法。

椭圆积分最初是从计算椭圆周长问题中引出的，其一般形式不能用初等函数表示，所以非常特殊。常见的椭圆积分有第一类椭圆积分

$$F(k,\varphi)=\int_{0}^{\varphi}\frac{d\theta}{\sqrt{1 - k^{2}\sin^{2}\theta}}$$

第二类椭圆积分

$$E(k,\varphi)=\int_{0}^{\varphi}\sqrt{1 - k^{2}\sin^{2}\theta}d\theta$$

等等（其中$k$为椭圆积分的模，$0\lt k\lt1$）。在处理一些与椭圆、双曲线等相关的几何问题或物理问题中的积分时，可能会涉及到椭圆积分。对椭圆积分的性质和特殊值的研究可以求解相应的积分问题。

这个术法太复杂了，在本典中不会过多提及，有兴趣者可以自行学习。

2.示例：考虑椭圆

$$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$$

（$a\gt b\gt0$）的周长。可将其转化为椭圆积分

$$L = 4a\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1 - e^{2}\sin^{2}\theta}d\theta=4aE(\frac{\pi}{2},e) $$

（$e=\sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}$为椭圆的离心率），这是一个第二类椭圆积分，可以用幂级数展开计算近似值，但是精确值我不会算。

（卷二完）