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积分术法（Oλοκλήρωση Μαγεία）原典（卷一）

积分术法（Oλοκλήρωση Μαγεία）原典

自由基注：2025.5.3，我对积分术法进行了修订，修改了一些无法显示的错误内容。

零、写在正文前的话

本书是积分术法（Oλοκλήρωση Μαγεία）的原典。本原典是由活性自由基（AFR，英语全名Active Free Radical，希腊语名δραστικός ελεύθερος ρίζα）汇总历代大师在积分方面的50项研究成果而成的。原典的原文由希腊语撰写，并由ἄπειρον学派成员37（英文全名Thirty-Seven，希腊语名Τριάντα-Επτά）译成汉语。

本卷是原典的第一卷，收录了第一，二，三章，前十种积分术法。

一、引言

积分是分析学中的重要概念。在各科中，我们经常会遇到各类积分。积分由分析学创始人$\text{Newton}$和$\text{Lebnitz}$创立，并由$\text{Cauchy}$，$\text{Euler}$等一众大师发展成型，又在近代由$\text{Sobolev}$等大师将其与代数，几何相融合，成为数学中不可缺少的一部分。

积分的运算并不简单。本典旨在介绍积分术法，帮助各位更轻松的处理积分。

本典共记载$32$种积分术法，$14$种高级积分术法，$13$章。

编者能力有限，难免出现错误，也无法收录所有积分术法。如$\text{Marcinkiewicz}$插值，$\text{Calderón-Zygmund}$分解，$\text{Risez}$变换等高级术法，只能由读者自行查询学习。

如读者在阅读过程中发现错误，请尽管提出。

祝你学习愉快。

二、基本积分术法

不积硅步，无以至千里。

（一）基本公式积分术

1.原理：根据已有的基本积分公式，直接对函数进行积分。例如，

$$\int x^n dx=\frac{x^{n + 1}}{n+1}+C\,(n\neq - 1)$$

$$\int \frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$$

$$\int e^x dx=e^x + C$$

$$\int \sin xdx=-\cos x + C$$

$$\int \cos xdx=\sin x + C$$

等等。基本公式积分术是古老而强大的术法，所有其他积分术法都是在其基础上建立的。至于基本积分公式，除背诵外，别无他法。

2.示例：

$$\int x^3dx=\frac{x^{3+1}}{3 + 1}+C=\frac{1}{4}x^4+C$$

（二）第一类换元积分术

1.原理：如果$\int f(u)du=F(u)+C$，且$u = \varphi(x)$可导，则有

$$\int f[\varphi(x)]\varphi'(x)dx=\int f(u)du=F[\varphi(x)]+C$$

这是最简单的换元积分术，也是对付积分常用的手段之一。

2.示例：

$$\int 2x\cos(x^2)dx$$

$$=\int \cos u du=\sin(u)+C=\sin(x^2)+C$$

其中$u=x^2$。

（三）第二类换元积分术

1.原理：若$x=\varphi(t)$是单调可导的函数，且$\varphi'(t)\neq0$，又$f[\varphi(t)]\varphi'(t)$有原函数$F(t)$，则有

$$\int f(x)dx=\int f[\varphi(t)]\varphi'(t)dt=F(t)+C=F[\varphi^{-1}(x)]+C$$

其中$t=\varphi^{-1}(x)$。第二类换元积分术用于面对含有根式的积分。

2.示例：考虑积分

$$\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}dx$$

令$x=\sin t$，$t\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$，则

$$dx=\cos tdt$$

$$\sqrt{1 - x^2}=\sqrt{1-\sin^{2}t}=\cos t$$

$$\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}dx=\int \frac{\cos t}{\cos t}dt=\int dt=t + C=\arcsin x+C$$

（四）分部积分术

1.原理：根据乘积求导法则

$$(uv)^\prime = u^\prime v+uv^\prime$$

可得

$$\int uv^\prime dx=uv-\int u^\prime vdx$$

$$\int u dv=uv-\int v du$$

分部积分术的关键在于合理选择$u$和$dv$。选择的好可以大大简化积分，选择的不好则可能产生相反的效果。一般按照“反对幂指三”（即反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数）的顺序，前者优先选作$u$，后者则选作$dv$。分部积分术在处理$\text{ODE}$和$\text{PDE}$的泛函守恒律问题中发挥着相当强大的力量。

2.示例：

$$\int x\cos xdx=x\sin x-\int \sin xdx=x\sin x+\cos x + C$$

三、三角函数积分术法

周而复始，不休。

（五）$\sin^n x\cos^m x$型积分术

1.原理：

·当$n$为奇数时，将$\sin^n x$拆分成$\sin^{n - 1}x\cdot\sin x$，然后利用

$$\sin^{2}x = 1-\cos^{2}x$$

将被积函数转化为多项式，再用换元术求解。

·当$m$为奇数时，类似地将$\cos^m x$拆分成$\cos^{m - 1}x\cdot\cos x$，利用

$$\cos^{2}x = 1-\sin^{2}x$$

通过换元术求解。

·当$n$和$m$均为偶数时，可以用倍角公式

$$\sin^{2}x=\frac{1 - \cos2x}{2}$$

$$\cos^{2}x=\frac{1+\cos2x}{2}$$

进行降次，逐步积分。

2.示例：

$$\int \sin^3 x\cos^2 xdx$$

$$=\int \sin^{2}x\cos^2 x\cdot\sin xdx$$

$$=\int (1 - \cos^{2}x)\cos^2 x\cdot\sin xdx$$

令$u=\cos x$则$du=-\sin xdx$，则原积分等价于

$$-\int (1 - u^{2})u^{2}du$$

$$=-\int (u^{2}-u^{4})du$$

$$=-\left(\frac{1}{3}u^{3}-\frac{1}{5}u^{5}\right)+C=-\frac{1}{3}\cos^{3}x+\frac{1}{5}\cos^{5}x + C$$

（六）$\tan^n x$和$\cot^n x$型积分术

1.原理：

对于$\tan^n x$：

·当$n$为偶数时，利用

$$\tan^{2}x=\sec^{2}x - 1$$

可以将$\tan^n x$转化为

$$\tan^{n - 2}x\cdot\tan^{2}x$$

$$=\tan^{n - 2}x(\sec^{2}x - 1)$$

然后再通过换元术求解。

·当(n)为奇数时，则先使用与（五）相似的处理方法，再结合

$$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$$

通过第一类换元积分术等术法求解。

对于$\cot^n x$：

·当$n$为偶数时，利用

$$\cot^{2}x=\csc^{2}x - 1$$

可以将$\cot^n x$转化为

$$\cot^{n - 2}x\cdot\cot^{2}x$$

$$=\cot^{n - 2}x(\csc^{2}x - 1)$$

然后通过换元术求解。

·当$n$为奇数时，类似上面地处理。

2.示例：

$$\int \tan^4 xdx$$

$$=\int \tan^{2}x\cdot\tan^{2}xdx$$

$$=\int \tan^{2}x(\sec^{2}x - 1)dx$$

$$=\int \tan^{2}x\sec^{2}xdx-\int \tan^{2}xdx$$

令$u = \tan x$则$du=\sec^{2}xdx$，则

$$\int \tan^{2}x\sec^{2}xdx$$

$$=\int u^{2}du=\frac{1}{3}u^{3}+C=\frac{1}{3}\tan^{3}x+C$$

$$\int \tan^{2}xdx=\int (\sec^{2}x - 1)dx=\tan x - x+C$$

所以有

$$\int \tan^4 xdx=\frac{1}{3}\tan^{3}x-\tan x + x+C$$

（七）$\sec^n x$和$\csc^n x$型积分术

1.原理：

对于$\sec^n x$：

·当$n$为偶数时，我不想再废话了，利用

$$\sec^{2}x = 1+\tan^{2}x$$

再换元就可以了，自己思考吧。

·当$n$为奇数时，可以考虑分部积分术。即令$u=\sec^{n - 2}x$，$dv=\sec^{2}xdx$。

对于$\csc^n x$：

·当$n$为偶数时，这段我实在不想打字了，公式列一下得了。

$$\csc^{2}x = 1+\cot^{2}x$$

·当$n$为奇数时，同样考虑分部积分术。

2.示例：

$$\int \sec^4 xdx$$

留着当作业吧，我只写答案。

$$\int \sec^4 xdx=\tan x+\frac{1}{3}\tan^{3}x+C$$

（八）万能代换术

1.原理：万能代换术是应对三角有理式$R(\sin x,\cos x)$的积分而开发的。说它万能是因为它真的很万能。令$t=\tan\frac{x}{2}$，则$\sin x=\frac{2t}{1 + t^{2}}$，$\cos x=\frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}}$，$dx=\frac{2}{1 + t^{2}}dt$。这样三角有理式的积分就转化为有理函数的积分。（对于上面几个代换公式，请不要看一眼就过去了，试着自己推一下）

2.示例：考虑积分

$$\int \frac{1}{1+\sin x}dx$$

令$t=\tan\frac{x}{2}$，则

$$\int \frac{1}{1+\sin x}dx$$

$$=\int \frac{1}{1+\frac{2t}{1 + t^{2}}}\cdot\frac{2}{1 + t^{2}}dt$$

$$=\int \frac{2}{(1 + t^{2})+2t}dt=\int \frac{2}{(t + 1)^{2}}dt$$

再令$u=t + 1$，则有$du=dt$,则

$$\int \frac{2}{(t + 1)^{2}}dt=- \frac{2}{t + 1}+C=-\frac{2}{\tan\frac{x}{2}+1}+C$$

四、有理函数积分术法

理性与逻辑是亘古的真理。

（九）部分分式分解术

1.原理：对于有理函数$\frac{P(x)}{Q(x)}$（$P(x)$，$Q(x)$为多项式），根据代数基本定理，只要$Q(x)$在实数域上有根，就一定可以分解为一次因式和二次因式的乘积，即

$$Q(x)=(x-\alpha_1)^{\lambda_1}(x-\alpha_2)^{\lambda_2}…(x^2+p_1x+q_1)^{\kappa_1}(x^2+p_1x+q_1)^{\kappa_1}…$$

其中$\alpha_i$是多项式的实根，$\lambda_i$是对应实根的重数，$x^2+p_jx+q_j$是多项式的二次不可约因式，$\kappa_j$是二次因式的重数。

则$\frac{P(x)}{Q(x)}$可以分解为形如$\frac{M_i}{(x - \alpha_i)^{\lambda_i}}$和$\frac{R_ix + T_i}{(x^2 + p_jx + q_j)^{\kappa_j}}$的部分分式之和。这样就可以对这些部分分式进行积分，要比原表达式处理起来好得多。虽然这种术法原理看在实际使用时可能相当简单（见示例），但还是有必要单独拿出来讲讲，因为和下面所提及的$\text{Ostrogradsky}$积分术有很大关联。

2.示例：

$$\int \frac{1}{x(x - 1)}dx=\int \frac{1}{x - 1}dx-\int \frac{1}{x}dx=\ln|x - 1|-\ln|x|+C=\ln|\frac{x - 1}{x}|+C$$

（十）$\text{Ostrogradsky}$积分术

1.原理：$\text{Ostrogradsky}$积分术由俄国积分学和力学大师$\text{Mikhail Vasilievich Ostrogradsky}$开发。这种术法从多项式理论出发，加以部分分式分解术的技巧可以有效的解决高次有理积分。这也是在本典中的第一个高级积分术法。

$\text{Ostrogradsky}$表述为：对于有理函数$\frac{P(x)}{Q(x)}$，若满足$\text{deg}(P(x))\leq \text{deg}(Q(x))$，则其积分$\int \frac{P(x)}{Q(x)}dx$可以用如下方法解决：

先将$Q(x)$分解为

$$Q(x)=Q_1(x)Q_2(x)$$

$$Q_1(x)=\text{gcd}(Q(x),\frac{dQ(x)}{dx})$$

$$Q_2(x)=\frac{Q(x)}{Q_1(x)}$$

则有

$$\int \frac{P(x)}{Q(x)}dx=\int \frac{P_1(x)}{Q_1(x)}+\int \frac{P_2(x)}{Q_2(x)}dx$$

其中$P_1(x)$，$P_2(x)$是合适的的多项式，满足$\text{deg}(P_1(x))<\text{deg}(Q_1(x))$，$\text{deg}(P_2(x))<\text{deg}(Q_2(x))$，其系数可以通过求导和待定系数解决。这种方法在处理高阶有理函数积分时，可以简化计算过程。

2.示例：考虑积分

$$\int \frac{3x^2 + 2x + 1}{x^3 - x^2 + x - 1}dx$$

不妨令分子为$P(x)$，分母为$Q(x)$，易得

$$Q_1(x)=x - 1$$

$$Q_2(x)= x^2 + 1$$

再不妨设$\text{deg}(P_1(x))=\text{deg}(Q_1(x))-1$，$\text{deg}(P_2(x))=\text{deg}(Q_2(x))-1$

则有

$$\int\frac{3x^2 + 2x + 1}{x^3 - x^2 + x - 1}dx=\int\frac{\lambda_1}{x - 1}+\int\frac{\lambda_2x+\lambda_3}{x^2 + 1}$$

通分，比较系数，列方程组并解的过程不再展示。可解得$\lambda_1=2$，$\lambda_2=1$，$\lambda_3=3$。积分需要使用换元术，在此也不在赘述。最终答案为

$$\int \frac{3x^2 + 2x + 1}{x^3 - x^2 + x - 1}dx$$

$$= 2\ln |x - 1| + \frac{1}{2} \ln |x^2 + 1| + 3\arctan x+C$$

（卷一完）