数学 抽象代数——循环表示(b)
循环表示给我们带来一些美妙的结果。
命题 (1) 设 $\sigma \in S_{n}$ 是一个循环，所以$$\sigma = (a_{1}~\cdots~a_{k})$$其中 $a_{i+1} = \sigma(a_{i})$。则$$\sigma^{-1} = (a_{k}~\cdots~a_{1})$$即，$\sigma^{-1} = (b_{1}~\cdots~b_{k})$，其中 $b_{i} = \sigma(b_{i+1})$，且 $b_{k} = a_{1}$。
(2) 更一般地，如果$$\sigma = \sigma_{1} \sigma_{2} \cdots \sigma_{k}$$其中 $\sigma_{i}$ 是不相交的循环，则$$\sigma^{-1} = \sigma_{1}^{-1} \cdots \sigma_{k}^{-1}$$
(3) 设 $\sigma, \tau \in S_{n}$ 且 $a, b \in \underline{n}$。如果 $\sigma(a) = b$，则 $\tau \sigma \tau^{-1}$ 将 $\tau(a)$ 映射到 $\tau(b)$。
证明：(1) 需要证明对于所有 $b \in \underline{n}$，有$$(a_{k}~\cdots~a_{1}) \circ (a_{1}~\cdots~a_{k}): b \mapsto b$$且$$(a_{1}~\cdots~a_{k}) \circ (a_{k}~\cdots~a_{1}): b \mapsto b$$我们将做第一个组合，第二个类似。注意
- 如果 $b \notin {a_{1}, \ldots, a_{k}}$，则 $b$ 被 $\sigma$ 固定，因此被 $(a_{k}~\cdots~a_{1})$ 固定。因此 $(a_{k}~\cdots~a_{1}) \circ \sigma(b) = b$。$\textcolor{red}{\checkmark}$
- 如果 $b \in {a_{1}, \ldots, a_{k}}$，则 $b = a_{i}$，其中 $i \in {1, \ldots, k}$。因此 $\sigma(b) = a_{i+1}$（循环表示法的定义）。因此 $(a_{k}~\cdots~a_{1})$ 将 $\sigma(b)$ 映射回 $b$。$\textcolor{red}{\checkmark}$
(2) 一般地，如果 $g_{1}, \ldots, g_{l} \in G$，$$(g_{1} \cdots g_{l})^{-1} = g_{l}^{-1} \cdots g_{1}^{-1}。$$
因为$$\begin{aligned}(g_{1} \cdots g_{l})(g_{l}^{-1} \cdots g_{1}^{-1}) &= g_{1} \cdots g_{l-1} \underbrace{g_{l} g_{l}^{-1}}_{\text{消掉}} g_{l-1}^{-1} \cdots g_{1}^{-1} \\&= g_{1} \cdots \underbrace{g_{l-1} g_{l-1}^{-1}}_{\text{消掉}} \cdots g_{1}^{-1} \\&\quad \vdots \\&= g_{1} g_{1}^{-1} \\&= 1_{G}.\end{aligned}$$
因此$$(\sigma_{1} \cdots \sigma_{l})^{-1} = \sigma_{l}^{-1} \cdots \sigma_{1}^{-1}$$但不相交的循环是可交换的，所以$$\sigma_{l}^{-1} \cdots \sigma_{1}^{-1} = \sigma_{1}^{-1} \cdots \sigma_{l}^{-1}。$$
(3)$$\begin{aligned}\tau \sigma \tau^{-1}(\tau(a)) &= \tau \sigma \tau^{-1} \circ \tau(a) \\&= \tau \sigma(a) \\&= \tau(b)\end{aligned}$$$$~\tag*{$\square$}$$
注 共轭类似于基变换。如果 $v_{1}, \ldots, v_{k}$ 是 $\mathbb{R}^{k}$ 的一组基，那么存在一个可逆矩阵 $T$，其第 $i$ 列是 $v_{i}$。如果线性变换 $A$ 将 $\vec{a}$ 变为 $\vec{b}$，则 $T A T^{-1}$ 将 $T \vec{a}$ 变为 $T \vec{b}$。因此，可以将上述的 $\tau$ 看作是 $\underline{n}$ 的“新基”。
推论 设 $\sigma, \sigma' \in S_{n}$。如果存在 $\tau \in S_{n}$ 使得 $\sigma' = \tau \sigma \tau^{-1}$，那么我们可以从 $\sigma$ 的循环表示和 $\tau$ 构造 $\sigma'$ 的循环表示。
证明：如果 $\sigma$ 是一个循环，$$\sigma = (a_{1}~\cdots~a_{l})$$则$$\tau \sigma \tau^{-1} = (\tau(a_{1})~\cdots~\tau(a_{l}))。$$命题 (3) 告诉我们，$\tau(a_{i})$ 被 $\tau \sigma \tau^{-1}$ 映射到 $\tau(a_{i+1})$。它还告诉我们，如果 $\sigma(a) = a$，则 $\tau \sigma \tau^{-1}$ 固定 $\tau(a)$；因此，$\tau \sigma \tau^{-1}$ 是另一个循环，其非平凡轨道由 ${\tau(a_{i})}$ 给出。
如果 $\sigma$ 是不相交循环的乘积$$\sigma = \sigma_{1} \cdots \sigma_{l}$$则$$\tau \sigma \tau^{-1} = (\tau \sigma_{1} \tau^{-1})(\tau \sigma_{2} \tau^{-1}) \cdots (\tau \sigma_{l} \tau^{-1})$$因为共轭是一个群同态。因此，如果$$\sigma = (a_{1}~\cdots~a_{k_{1}})(a_{k_{1}+1}~\cdots~a_{k_{1}+k_{2}}) \cdots (a_{k_{1}+\cdots+k_{l-1}+1}~\cdots~a_{k_{1}+\cdots+k_{l}})$$是 $\sigma$ 的循环表示法，则$$\tau \sigma \tau^{-1} = (\tau(a_{1})~\cdots~\tau(a_{k_{1}}))(\tau(a_{k_{1}+1})~\cdots~\tau(a_{k_{1}+k_{2}})) \cdots (\tau(a_{k_{1}+\cdots+k_{l-1}+1})~\cdots~\tau(a_{k_{1}+\cdots+k_{l}}))$$是 $\tau \sigma \tau^{-1}$ 的循环表示法。$$~\tag*{$\square$}$$
令 $\sigma \in S_{n}$。
将 $\sigma$ 写成$$\sigma = \sigma_{1} \cdots \sigma_{k}$$的不相交循环的乘积，并考虑$$|\sigma_{i}|，\quad \forall i$$（这些是与每个 $\sigma_{i}$ 相关的轨道的大小。）通过这种方式，我们得到了一组数字。由于我们可以重新排列 $\sigma_{i}$，最方便地将其视为一个无序的集合。
例 令$$\sigma = (1~2~3)(6~9) \in S_{9}$$注意我们为了简洁，不写 $(8)$。那么我们有与 $\sigma$ 相关的数字$$3, 2, 3$$
定义 我们称这些数字 ${a_{i}}$ 为 $\sigma$ 的循环形状(cycle shape)。
例 令$$\sigma' = (3~4~5)(8~7~9)(2~6)$$则 $\sigma'$ 有数字 $3, 3, 2$ 与之关联。
除了顺序外，这与 $\sigma$ 相关的集合相同。我们说 $\sigma$ 和 $\sigma'$ 具有相同的循环形状。
命题 两个元素 $\sigma, \sigma' \in S_{n}$ 是共轭的（即存在 $\tau$ 使得 $\sigma = \tau \sigma' \tau^{-1}$），当且仅当它们具有相同的循环形状。
证明：设 $\sigma$ 和 $\sigma'$ 具有相同的循环形状。然后我们可以重新排列 $\sigma$ 和 $\sigma'$ 的任何循环表示，使得$$\begin{aligned}\sigma &= \sigma_{1} \circ \cdots \circ \sigma_{k} \\\sigma' &= \sigma_{1}' \circ \cdots \circ \sigma_{k}'\end{aligned}~\text{都是不相交循环的乘积。}$$其中 $|\sigma_{i}| = |\sigma_{i}'|$，对于所有 $i$。
选择任意的 $i$ 和在 $\sigma_{i}$ 的循环表示法中出现的数字 $a$，$$\sigma_{i} = (\cdots~a~\cdots)。$$在 $\sigma_{i}'$ 中，选择任意数字 $a'$，$$\sigma_{i}' = (\cdots~a'~\cdots)。$$定义一个双射如下：$$\begin{aligned}\tau: a_{i} &\mapsto b_{i} \\\sigma^{j}(a_{i}) &\mapsto (\sigma')^{j}(b_{i})\end{aligned}$$那么$$\begin{aligned}\tau \sigma \tau^{-1}(b) &= \tau \sigma \tau^{-1}((\sigma')^{j}(b_{i})) \\&= \tau \sigma(\sigma^{j}(a_{i})) \\&= \tau(\sigma^{j+1}(a_{i})) \\&= (\sigma')^{j+1}(b_{i}) \\&= \sigma'(b)。\end{aligned}$$即 $\tau \sigma \tau^{-1} = \sigma'$。反之亦然，由上面的推论可知。$$~\tag*{$\square$}$$
例 $$\begin{aligned}(1~2~3)(6~9) &= \sigma \\(4~5)(3~6~1) &= \sigma'\end{aligned} \in S_{9}$$
具有相同的循环形状。同样，$$\begin{aligned}\sigma &= (1~2)(3~4)(5~6~7) \\\sigma' &= (7~8)(5~9)(1~4~2)\end{aligned} \in S_{9}$$
注 $\sigma$ 的循环形状只是说明：$\sigma$ 的作用将 $\underline{n}$ 分成 $l$ 个轨道；第 $i$ 个轨道的大小为 $k_{i}$。如果 $\sigma'$ 也将 $\underline{n}$ 分成 $l$ 个轨道，并且我们可以将 $k_{i}'$ 与 $\sigma$ 的 $k_{i}$ 相匹配，那么 $\sigma$ 和 $\sigma'$ 具有相同的循环形状。
例 如何找到 $\tau$ 呢？$$\begin{aligned}\sigma &= (1~2~3)(4~6)(7~8~5) \\\sigma' &= (1~5~7)(9~3)(6~8~4)\end{aligned}$$好吧，如果 $\tau \sigma \tau^{-1} = \sigma'$，我们知道在 $\sigma'$ 的循环表示中，循环$$(b_{1}~\cdots~b_{k})$$等于$$(\tau(a_{1})~\cdots~\tau(a_{k}))$$对于 $\sigma$ 的循环分解中的某个循环 $(a_{1}~\cdots~a_{k})$。这不是唯一的，但以下是你可以找到它的方法：选择一个循环和一个在其循环表示法中出现的数字。随意地，我们选择$$4 \in (4~6)$$在 $\sigma'$ 的循环表示法中，选择与 $(4~6)$ 长度相同的循环。在这种情况下，我们只能选择 $(9~3)$（虽然一般情况下，我们可能有很多选择）。选择在该循环中出现的一个元素，比如 $9$。
所以写
然后我们来看循环 $\sigma_{i}$ 如何限制 $9$。在这种情况下，没有——$9$ 是 $\sigma$ 的一个不动点。
所以选择 $\sigma^{\prime}$ 的任意一个不动点——在这里，我们唯一的选择是 $2$。
现在找到包含 $2$ 的循环 $\sigma_{i}$。在 $\sigma_{i}^{\prime}$ 中，找到对应的元素。在这种情况下，对应的是 $5$。
所以第四个：
$\textcircled{\small 5}$ 看到 $(4925)$ 是 $\tau$ 的一个循环后，选择任何一个尚未写出的元素。我们任意选择 $1$。
$\textcircled{\small 6}$ 同样地，我们选择 $3$。
由于我们从不书写长度为 $1$ 的循环。
定义 交错群(alternating group) $A_{n}$ 定义为映射$$\begin{aligned}S_{n} &\to GL_{n}(\mathbb{R}) \xrightarrow{\det} \mathbb{R}^{\times} \\\sigma &\mapsto B_{\sigma}\end{aligned}$$的核，其中$$B_{\sigma}(e_{i}) = e_{\sigma(i)}$$即：所有使得 $B_{\sigma}$ 的行列式为 $1$ 的 $\sigma$ 的集合。
命题 $A_{n}$ 是 $S_{n}$ 的子群，包含所有偶置换，即可以表示为偶数个换位（两个元素的交换）的置换。因此 $A_{n}$ 的阶为 $\dfrac{n!}{2}$。
命题 $A_{n}$ 是 $S_{n}$ 的正规子群。
有三种方法来证明这一点。
- 符号同态的核
证明：定义一个映射 $\mathrm{sgn}: S_{n} \to {1, -1}$，其中
- 如果 $\sigma$ 是偶置换，$\mathrm{sgn}(\sigma) = 1$。
- 如果 $\sigma$ 是奇置换，$\mathrm{sgn}(\sigma) = -1$。
这是一个群同态，因为$$\mathrm{sgn}(\sigma \tau) = \mathrm{sgn}(\sigma) \cdot \mathrm{sgn}(\tau)。$$我们称其为符号同态。
同态的核是被映射到陪域的单位元的元素集合。对于 $\mathrm{sgn}$，单位元是 $1$。因此，$\ker(\mathrm{sgn}) = A_{n}$。
群同态的核总是域群的正规子群。因此，$A_{n}$ 是 $S_{n}$ 的正规子群。$$~\tag*{$\square$}$$
- 共轭保持置换的奇偶性
证明：对于任何 $\sigma, \tau \in S_{n}$，共轭保持置换的循环结构和奇偶性。如果 $\sigma$ 是偶置换，则其共轭 $\tau \sigma \tau^{-1}$ 也是偶置换。一个子群 $N$ 是正规子群，如果它在群的元素下共轭不变：$$\tau N \tau^{-1} = N \quad \text{对于所有 } \tau \in S_{n}$$由于偶置换的共轭仍是偶置换，$A_{n}$ 是 $S_{n}$ 的正规子群。$$~\tag*{$\square$}$$
- $A_{n}$ 在 $S_{n}$ 中的指数
证明：$A_{n}$ 在 $S_{n}$ 中的指数为：$$[S_{n}: A_{n}] = \dfrac{|S_{n}|}{|A_{n}|} = \dfrac{n!}{n!/2} = 2。$$由于在群中任何指数为 $2$ 的子群都是正规的，$A_{n}$ 是 $S_{n}$ 的正规子群。$$~\tag*{$\square$}$$