数学

抽象代数——循环表示(a)

定义 设有一个群作用

$$G \to \mathrm{Aut}_{\text{set}}$$

作用在集合 $X$ 上。固定 $g \in G$。我们称 $g$ 在 $X$ 上的作用 为

$$\langle g \rangle \to G \to \mathrm{Aut}_{\text{set}}.$$

其中 $\langle g \rangle \to G$ 是群同态，因为子群的包含映射是群同态。$\langle g \rangle \to \mathrm{Aut}_{\text{set}}$ 是群同态，因为两个群同态的复合仍是群同态。

本质上，$g$ 在 $X$ 上的作用可以通过将 $g$ 分解为循环来用循环表示法表示，其中每个循环对应于 $g$ 在 $X$ 上作用的一个轨道。

定义 如果 $\sigma \in S_{n}$，且 $\sigma$ 在 $\underline{n}$ 上的作用至多有一个轨道的大小 $\geqslant 2$，则称 $\sigma$ 为一个 循环(cycle)。

例

• $\sigma = 1_{S_{n}}$ 只有大小为 $1$ 的轨道，所以 $1_{S_{n}}$ 是一个循环。

• 设 $\tau: \underline{4} \to \underline{4}$ 定义为： $$ \begin{aligned} 1 &\mapsto 2\\ 2 &\mapsto 1\\ 3 &\mapsto 4\\ 4 &\mapsto 3 \end{aligned} $$ 我们可以绘制为

  
  

这不是一个循环，因为它有两个大小 $\geqslant 2$ 的轨道：$\{1,2\}$ 和 $\{3,4\}$。

• 对于 $\tau: \underline{5} \to \underline{5}$ 定义为： $$ \begin{aligned} 1 &\mapsto 1\\ 2 &\mapsto 2\\ 3 &\mapsto 5\\ 4 &\mapsto 3\\ 5 &\mapsto 4 \end{aligned} $$ 绘制为
  
  这是一个循环。

定义 如果 $\sigma \in S_{n}$ 是一个循环，我们用 $\underline{\sigma} \subset \underline{n}$ 表示大小 $\geqslant 2$ 的轨道。对于 $\sigma = 1_{G}$，我们定义$$\underline{1_{G}} := \varnothing。$$

例

$\underline{\sigma}$ 是一个子集，所以元素的顺序无关紧要。例如，它不是某个集合加上一个顺序的选择。

定义 如果 $\sigma, \tau \in S_{n}$ 是循环，我们说 $\sigma$ 和 $\tau$ 是不相交的循环(disjoint cycle)，当且仅当 $\underline{\sigma}$ 和 $\underline{\tau}$ 不相交。

例

• $1_{G}$ 与任何循环都是不相交的。
• 和不是不相交的，因为 $\{1,2\}$ 和 $\{2,3\}$ 有交集。
• 和是不相交的。

命题 $S_{n}$ 中不相交循环是可交换的。

证明：设 $\sigma$ 和 $\tau$ 是不相交循环，取 $k \in \underline{n} = {1,2,\ldots,n}$。则$$\begin{aligned}(\sigma \circ \tau)(k) &= \begin{cases}\sigma(k) & \text{如果 } k \notin \underline{\tau}\\\tau(k) & \text{如果 } k \in \underline{\tau}\end{cases} \\&= \begin{cases}\sigma(k) & \text{如果 } k \in \underline{\sigma}\\k & \text{如果 } k \notin \underline{\sigma}, \underline{\tau}\\\tau(k) & \text{如果 } k \in \underline{\tau}\end{cases}\end{aligned}$$

因为

$$\begin{align*}k \notin \underline{\tau} &\Rightarrow \tau(k) = k \\&\Rightarrow \sigma(\tau(k)) = \sigma(k) \\k \in \underline{\tau}&\Rightarrow \tau(k) \in \underline{\tau} \qquad\text{轨道的定义} \\&\Rightarrow \tau(k) \notin \underline{\sigma} \qquad\text{不相交的定义} \\&\Rightarrow \sigma(\tau(k)) = \tau(k)\end{align*}$$

而

$$\begin{aligned}(\tau \circ \sigma)(k) &= \begin{cases}\tau(k) & \text{如果 } k \notin \underline{\sigma}\\\sigma(k) & \text{如果 } k \in \underline{\sigma}\end{cases} \\&= \begin{cases}\tau(k) & \text{如果 } k \in \underline{\tau}\\k & \text{如果 } k \notin \underline{\sigma}, \underline{\tau}\\\sigma(k) & \text{如果 } k \in \underline{\sigma}\end{cases}\end{aligned}$$因此 $\sigma \circ \tau = \tau \circ \sigma$。

$$~\tag*{$\square$}$$

定义 设 $\sigma$ 是一个循环。$\sigma$ 的循环表示（cycle notation） 是表达式$$(a~\sigma(a)~\sigma^{2}(a)~\cdots~\sigma^{|\sigma|-1}(a))$$其中 $a \in \underline{\sigma}$。

例 如果 $\sigma \in S_{5}$ 如图所示：

则以下都是 $\sigma$ 的循环表示：

$$\begin{array}{cccc}(1~2~3~5), & (2~3~5~1), & (5~1~2~3), & (3~5~1~2). \\a=1 & a=2 & a=5 & a=3\end{array}$$

例 如果 $\tau \in S_{5}$ 如图所示：

$\underline{\tau} = \underline{\sigma}$，但 $\tau$ 的任何循环表示法都不是 $\sigma$ 的循环表示法。$$(1~2~5~3), (2~5~3~1), (5~3~1~2), (3~1~2~5)。$$

隐含地，我们在对 $\sigma$ 的各种循环表示法进行辨认。

定理 每个元素$$\sigma \in S_{n}$$都可以写成不相交循环的乘积，且除了顺序外是唯一的。

证明：对于 $\sigma \in S_{n}$，设 $\{\mathcal{O}_{a}\}$ 是 $\sigma$ 在 $\underline{n}$ 上作用的轨道集合。对于每个 $\mathcal{O}_{a} \in \underline{n}/\langle \sigma \rangle$，选择$a \in \mathcal{O}_{a}$，并设

$$\sigma_{a} = (a~\sigma(a)~\cdots~\sigma^{|\mathcal{O}_{a}|-1}(a))$$

作为一个循环。则根据定义，

$$\sigma = \prod_{\mathcal{O}_{a}} \sigma_{a}$$

因为

$$\prod_{\mathcal{O}_{a}} \sigma_{a}(k) = \sigma(k)$$

根据定义。此外，我们写成

$$\prod_{\mathcal{O}_{a}} \sigma_{a} = \sigma_{a} \cdot \sigma_{b} \cdot \cdots \cdot \sigma_{z}$$

而没有指定顺序，这是因为每个 $\sigma_{a}$ 和 $\sigma_{b}$ 是不相交的（由于轨道的不相交性），因此是可交换的（即顺序无关）。

关于唯一性：如果另一个人写成$$\sigma = \prod \tau_{i} = \tau_{1} \cdot \tau_{2} \cdots \tau_{k}$$其中 ${\tau_{i}}$ 是一组不相交的循环，那么注意到$${\tau_{i}} = \underline{n}/\langle \sigma \rangle。$$因此，对于每个 $i$，存在唯一的 $\sigma_{a}$，使得 $\underline{\sigma_{a}} = \underline{\tau_{i}}$。写 $\tau_{i} = (b_{0}~b_{1}~\cdots~b_{|\tau_{i}|-1})$，我们看到 $\sigma(b_{i}) = b_{i+1}$，因此证明完毕。$$~\tag*{$\square$}$$

例 令 $\sigma \in S_{8}$ 定义为

则$$\begin{aligned}\sigma &= (7~8~4) \circ (1~2~6) \circ (3~5) \\&= (1~2~6)(7~8~4)(3~5) \\&= (1~2~6)(3~5)(7~8~4) \quad \text{等等}\end{aligned}$$我们可以将 $(1~2~6)$ 作为 $S_{8}$ 中的循环及其循环表示。$(1~2~6)$ 是 $S_{8}$ 中的元素，其图示为

在第二个等式中，为了简洁，我们省略了组合符号 “$\circ$”。

定义 对于 $\sigma \in S_{n}$，$\sigma$ 的循环表示法是表达式$$\sigma = \sigma_{1} \cdots \sigma_{k}$$其中每个 $\sigma_{i}$ 是一个循环，且当 $i \neq j$ 时，每对 $\sigma_{i}$ 和 $\sigma_{j}$ 是不相交的。

例 如果 $\sigma \in S_{5}$ 如图所示：

则以下是 $\sigma$ 的循环表示：

$$\begin{array}{cc}(1~2~4)(3~5) & (3~5)(1~2~4) \\(1~2~4)(5~3) & (5~3)(1~2~4) \\(4~1~2)(3~5) & (3~5)(4~1~2) \\(4~1~2)(5~3) & (5~3)(4~1~2) \\(2~4~1)(3~5) & (3~5)(2~4~1) \\(2~4~1)(5~3) & (5~3)(2~4~1)\end{array}$$

所有这些都表示相同的 $\sigma$。

例 令$$\begin{aligned}\sigma &= (1~2)(3~4) \\\tau &= (1~2~3)\end{aligned}$$则循环的逆就是将循环反向读取：$$\begin{aligned}\tau^{-1} &= (3~2~1) \\\sigma^{-1} &= (2~1)(4~3) = \sigma\end{aligned}$$我们可以计算$$\begin{aligned}\tau \sigma \tau^{-1} &= (1~2~3) \circ (1~2)(3~4) \circ (3~2~1) \\&= (1~4)(2~3) \\\sigma \tau \sigma^{-1} &= (1~2)(3~4) \circ (1~2~3) \circ (1~2)(3~4) \\&= (3)(4~2~1) \\&= (4~2~1)\end{aligned}$$注意 $(\text{某元素})\sigma(\text{某元素})^{-1}$ 与 $\sigma$ 具有相同的循环形状。这将有助于我们分类 $S_{n}$ 的共轭类。