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我是大坏蛋
25天前
我们来分析第七题。
### 题目条件
- 已知非零向量 \(\boldsymbol{a}\) 和 \(\boldsymbol{b}\) 满足 \(|\boldsymbol{a}| = 4\)。
- \(|\boldsymbol{a} + t\boldsymbol{b}|\)（\(t \in \mathbb{R}\)）的最小值为 2。
### 目标
求 \(\boldsymbol{a}\) 和 \(\boldsymbol{b}\) 的夹角。
### 分析
1. **表达式展开**
\(|\boldsymbol{a} + t\boldsymbol{b}|^2\) 可以展开为：
\[
|\boldsymbol{a} + t\boldsymbol{b}|^2 = (\boldsymbol{a} + t\boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{a} + t\boldsymbol{b})
\]
\[
= \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{a} + 2t (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) + t^2 (\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{b})
\]
\[
= |\boldsymbol{a}|^2 + 2t (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) + t^2 |\boldsymbol{b}|^2
\]
\[
= 16 + 2t (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) + t^2 |\boldsymbol{b}|^2
\]
2. **最小值条件**
设 \(x = \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}\)，则上式变为：
\[
|\boldsymbol{a} + t\boldsymbol{b}|^2 = 16 + 2tx + t^2 |\boldsymbol{b}|^2
\]
这是一个关于 \(t\) 的二次函数，标准形式为：
\[
f(t) = |\boldsymbol{b}|^2 t^2 + 2x t + 16
\]
该二次函数的最小值发生在 \(t = -\frac{b}{2a}\) 处，即：
\[
t = -\frac{2x}{2|\boldsymbol{b}|^2} = -\frac{x}{|\boldsymbol{b}|^2}
\]
3. **最小值表达**
将 \(t = -\frac{x}{|\boldsymbol{b}|^2}\) 代入，得到：
\[
f\left(-\frac{x}{|\boldsymbol{b}|^2}\right) = |\boldsymbol{b}|^2 \left(-\frac{x}{|\boldsymbol{b}|^2}\right)^2 + 2x \left(-\{x}{|\boldsymbol{b}|^2}\right) + 16
\]
\[
= |\boldsymbol{b}|^2 \cdot \frac{x^2}{|\boldsymbol{b}|^4} - 2x \cdot \frac{x}{|\boldsymbol{b}|^2} + 16
\]
\[
= \frac{x^2}{|\boldsymbol{b}|^2} - \frac{2x^2}{|\boldsymbol{b}|^2} + 16
\]
\[
= \frac{x^2 - 2x^2}{|\boldsymbol{b}|^2} + 16
\]
\[
= \frac{-x^2}{|\boldsymbol{b}|^2} + 16
\]
\[
= 16 - \frac{x^2}{|\boldsymbol{b}|^2}
\]
根据题目条件，这个表达式的值为 4（因为最小值为 2，即 \(|\boldsymbol{a} + t\boldsymbol{b}| = 2\)）：
\[
16 - \frac{x^2}{|\boldsymbol{b}|^2} = 4
\]
\[
\frac{x^2}{|\boldsymbol{b}|^2} = 12
\]
\[
x^2 = 12 |\boldsymbol{b}|^2
\]
4. **夹角计算**
\(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = x = |\boldsymbol{a}| |\boldsymbol{b}| \cos \theta\)
\[
x = 4 |\boldsymbol{b}| \cos \theta
\]
\[
x^2 = 16 |\boldsymbol{b}|^2 \cos^2 \theta
\]
代入 \(x^2 = 12 |\symbol{b}|^2\)：
\[
16 |\boldsymbol{b}|^2 \cos^2 \theta = 12 |\boldsymbol{b}|^2
\]
\[
16 \cos^2 \theta = 12
\]
\[
\cos^2 \theta = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}
\]
\[
\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
因此，\(\theta = \frac{\pi}{6}\) 或 \(\theta = \frac{5\pi}{6}\)。
### 结论
所以，\(\boldsymbol{a}\) 和 \(\boldsymbol{b}\) 的夹角为 \(\boxed{\text{C}}\)。答案是 \(\boxed{\text{C}}\)。