数学

抽象代数——群作用(b)

哲学: 给定一个群作用$G\to\mathrm{Aut}_{\mathrm{set}}(X)$，我们可以把$X$分裂成轨道(orbits)。

定义 令$G$作用在一个集合$X$上。则$\forall x\in X$，$x$的轨道(orbits of $x$) 是集合$$\mathcal{O}_{x}={y\in X\mid y=gx~\text{对于一些}~g}$$

例 令$G\to \mathrm{Aut}_{\mathrm{set}}(X)$

         为$g\mapsto \mathrm{id}_{X}$ (平凡作用)。

则

$$\begin{aligned}\mathcal{O}_{x}&=\{y\mid y=\mathrm{id}_{X}(X)\}\\&=\{x\}.\end{aligned}$$

例 $G=S^{1}$, $X=\mathbb{C}$,

$$\begin{aligned}G\times X&\to X\\(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta},z)&\mapsto z\times \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\end{aligned}$$

则$\mathcal{O}_{z}=\{\omega\mid\omega=z\times \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}~\text{对于一些}~\theta\}=$半径为$|z|$的圆，其意味着

$$\mathbb{C}=\coprod_{z\in\mathbb{R}_{\geqslant 0}}\mathcal{O}_{z}$$

同时注意到$\mathcal{O}_{0}={0}\subset \mathbb{C}$。

注：令$\mathcal{P}(X)$为$X$的幂集。它是$X$的所有子集的集合。则一个群作用确定一个映射$$\begin{aligned}X&\to\mathcal{P}(X)\\x&\mapsto\mathcal{O}_{x}\end{aligned}$$它当然不会碰到$\mathcal{P}(X)$的每一个元素。比如，空子集。但我们总会碰到其中的一些元素。

定义 一个群作用的轨道集合(orbit set)，或轨道空间(orbit space)，是$X\to \mathcal{P}(X)$的像，我们记为$$X/G$$就像$X$除以$G$。如果$y=gx$，则$\mathcal{O}_{x}=\mathcal{O}_{y}$，所以$y$和$x$在$\mathcal{P}(X)$中有相同的像，i.e. 被映射到$X/G$中相同的元素。

命题 (1) $\forall x\in X$, $x\in\mathcal{O}_{x}$。

(2) $\mathcal{O}_{x}=\mathcal{O}_{y}$ $\Leftrightarrow$ $y=gx$，对于一些$g\in G$。

证明：(1) $x=1_{G}x$，所以$x\in \mathcal{O}_{x}$。

(2) $\mathcal{O}_{x}=\mathcal{O}_{y}$ $\Leftrightarrow$ $y\in\mathcal{O}_{y}$ 通过(1) $\Leftrightarrow$ $y=gx$，对于一些$g\in G$ ($\mathcal{O}_{x}$的定义)。$$~\tag*{$\square$}$$我们可以通过一个一个数轨道来数$X$的元素 (如果$X$是有限的)。

例 令$G$是一个群。$\forall g\in G$，我们有一个双射$$\begin{aligned}\phi_{g}:G&\to G\\x&\mapsto gx\end{aligned}$$这是一个双射，因为

• $y\in G\quad \Rightarrow\quad y=g(g^{-1}y)=\phi_{g}(g^{-1}y)$.

• $\phi_{g}(y)=\phi_{g}(y^{\prime})\quad \Rightarrow\quad gy=gy^{\prime}\quad \Rightarrow\quad y=y^{\prime}$.

更进一步，$$\begin{aligned}\phi_{g_{1}g_{2}}(x)&=(g_{1}g_{2})(x)\\&=g_{1}(g_{2}(x))\\&=\phi_{g_{1}}\circ\phi_{g_{2}}(x)\end{aligned}$$所以映射

$$\begin{aligned}\phi: G&\to\mathrm{Aut}_{\mathrm{set}}(G)\\g&\mapsto \phi_{g}\end{aligned}$$

是一个同态，i.e.，每一个群作用在自己上。

如果$H\subset G$是一个子群，则

$$H\to G\to \mathrm{Aut}_{\mathrm{set}}(G)$$

是一个群作用。更准确来说，我们有

$$\begin{aligned}\phi_{h}:G&\to G\\x&\mapsto h\cdot x\end{aligned}$$

$\forall h\in H$.

命题 令$H$是$G$的子群。我们最后一次看到$H$作用在$G$上。此外，$\forall x,y\in G$，$|\mathcal{O}_{x}|=|\mathcal{O}_{y}|$。

证明：令$h=x^{-1}y\in G$。则我们有映射

$$\begin{align*}\mathcal{O}_{x}&\to\mathcal{O}_{y}&\\gx&\mapsto gxh&\text{在$\mathcal{O}_{y}$中，因为$gxh=gx(x^{-1}y)=gy\in\mathcal{O}_{y}$}&\\\mathcal{O}_{y}&\to \mathcal{O}_{x}&\\gy&\mapsto gyh^{-1}&\end{align*}$$

它们相互之间互为逆，因为

$$\begin{aligned}gx&\mapsto gxh\mapsto gxhh^{-1}=gx\\gy&\mapsto gyh\mapsto gyh^{-1}h=gy\end{aligned}$$

$$~\tag*{$\square$}$$

命题 $X=\bigcup\limits_{\mathcal{O}\in X/G}\mathcal{O}$。

此外，$\mathcal{O}\neq\mathcal{O}^{\prime}$ $\Rightarrow$ $\mathcal{O}\cap\mathcal{O}^{\prime}=\varnothing$.

证明：(1) 取任意元素$x\in X$。

根据轨道的定义，$x$属于轨道$\mathcal{O}_{x}$ (包括$x$的轨道)。

因此，$x\in \bigcup\limits_{\mathcal{O}\in X/G}\mathcal{O}$。

因为它对于每个$x\in X$都成立，我们有$X=\bigcup\limits_{\mathcal{O}\in X/G}\mathcal{O}$。

(2) 对于集合的任意映射，$$f:A\to B,$$我们知道$$A=\bigcup\limits_{b\in B}f^{-1}(b)$$并且$f^{-1}(b)\cap f^{-1}(b^{\prime})=\varnothing$，

这里，$\mathcal{O}=f^{-1}(\mathcal{O})$，所以$\mathcal{O}\neq\mathcal{O}^{\prime}$ $\Rightarrow$ $\mathcal{O}\cap\mathcal{O}^{\prime}=\varnothing$。$$~\tag*{$\square$}$$

推论 $X=\coprod\limits_{\mathcal{O}\in X/G}\mathcal{O}$。

推论 $|X|=\sum\limits_{\mathcal{O}\in X/G} |\mathcal{O}|$

证明：

推论 $|X|=|X/G|\cdot|\mathcal{O}_{x}|$，对于任意$x\in X$。

命题 $|\mathcal{O}_{\mathrm{id}_{G}}|=|H|$。

证明：

$$\begin{aligned}\mathcal{O}_{\mathrm{id}_{G}}&=\{y\mid y=h\cdot \mathrm{id}_{G},~\text{对于一些}~h\in H\}\\&=\{y\mid y=h,~\text{对于一些}~h\in H\}\\&=H\end{aligned}$$

$$~\tag*{$\square$}$$我们已经说明了如果$G$是有限的，则

$$|\mathcal{O}_{x}|=|H|$$

$\forall x\in G$。

因此

$$G=\coprod \mathcal{O}_{x}$$

$$|G|=\sum_{\begin{matrix}\text{\tiny 对所有的}\\\text{\tiny 轨道求和}\end{matrix}}|H|$$

这意味着$|H|$分裂$|G|$。

这就是Lagrange定理(Lagrange's theorem):

定理 (Lagrange定理)令$G$是有限的，则$|H|$分裂$|G|$。

定义 给定 $H\subset G$ 为一个子群，我们定义$$Hg=\{hg\mid h\in H\}$$为 $g$ 的右陪集(right coset)。

我们看到$$Hg=Hg^{\prime}\quad \text{当且仅当}~hg=g^{\prime}$$对于某些 $h\in H$。

定义 我们定义$$gH=\{gh\mid h\in H\}$$为 $g$ 关于 $H$ 的左陪集(left coset)。

我们也会用 $G/H$ 表示这个集合，当可能时我们将尽量不再讨论右陪集。

例 令 $H=\langle (12)\rangle\subset S_{3}=G$。令 $g=(123)$，则有：$$\begin{aligned} gH&=\{(123),(123)(12)\}\\ &=\{(123),(13)\}\end{aligned}$$而$$\begin{aligned} Hg&=\{(123),(12)(123)\}\\ &=\{(123),(23)\}\end{aligned}$$所以一般来说 $gH\neq Hg$。

定义 一个子群$H\subset G$被称为是正规的(normal)，如果$\forall g\in G$,$$\{ghg^{-1}\mid h\in H\}=H$$等号左边也被写成$gHg^{-1}$, i.e. $H$是正规的当且仅当$$gHg^{-1}=H.$$我们记为$H\triangleleft G$。

命题 4.10 (1) $gH=gH^{\prime}$ 当且仅当 存在 $h\in H$ 使得 $gh=g^{\prime}$。

$gH$ 是一个从右侧的群作用的轨道：$X\times H\to X$。因此我们对群 $G/H$ 的定义是相同的——相同的元素，相同的运算。

(2) 当且仅当 $H\triangleleft G$ 时，有 $gH=Hg$ 对于所有 $g\in G$。

证明：(1) 若 $gH=g^{\prime}H$ $\Rightarrow$ $\exists h_{1}, h_{2}\in H$, s.t. $gh_{1}=g^{\prime}h_{2}$。

                                  $\Rightarrow$ $gh_{1}h_{2}^{-1}=g^{\prime}$。

设 $h_{1}h_{2}^{-1}=h$，则得到$$gh=g^{\prime}$$

(2) $gH=Hg$ $\Rightarrow$ $\forall h\in H$, $\exists h^{\prime}\in H$, s.t. $gh=h^{\prime}g$

                    $\Rightarrow$ $ghg^{-1}=h^{\prime}$, i.e. $\forall h\in H$, $ghg^{-1}\in H$

                    $\Rightarrow$ $gHg^{-1}\subset H$, $\forall g\in G$

                    $\Rightarrow$ $H\triangleleft G$。

$H\triangleleft G$ $\Rightarrow$ $ghg^{-1}\in H$, $\forall g\in G$, $h\in H$

          $\Rightarrow$ $\forall g\in G$, $h\in H$, $\exists h^{\prime}\in H$, s.t. $ghg^{-1}=h^{\prime}$

          $\Rightarrow$ $\forall g\in G$, $h\in H$, $\exists h^{\prime}\in H$, $gh=h^{\prime}g$。$$~\tag*{$\square$}$$

定义 设 $H \subset G$ 是一个子群。$H$在$G$中的指数(index) 是$G/H$中的元素数量。它记作

$$[G:H]:= |G/H|=\#~\text{陪集}~Hg =\#~\text{轨道}~\mathcal{O}_{g}$$

命题 假设 $K \subset H \subset G$ 是子群。（$H$ 是 $G$ 的子群，$K$ 是 $H$ 的子群。注意这也意味着 $K$ 是 $G$ 的子群。）那么$$[G:K] = [G:H][H:K]。$$

证明：在Lagrange定理的证明中，我们看到$$G = \bigsqcup\limits_{\mathcal{O}_{g} \in G/H} \mathcal{O}_{g}$$即 $G$ 是 $H$ 作用在 $G$ 上的轨道的不交并。此外，所有轨道都有相同的大小 $|\mathcal{O}_{g}| = |H|$，对所有 $g \in G$ 成立。

因此，$$|G| = n \cdot |H|$$其中 $n$ 是不同轨道的数量，即 $n = [G:H]$。

因此，$$[G:K] = |G| / |K| = (|G| / |H|) \cdot (|H| / |K|) = [G:H][H:K]。$$$$~\tag*{$\square$}$$

这个命题将许多概念联系在一起。

命题 在一个群中，任何指数为 $2$ 的子群都是正规子群。

证明：由于 $H$ 在 $G$ 中的指数为 $2$，所以 $H$ 在 $G$ 中恰有两个不同的左陪集：$$G = H \cup gH$$其中 $g \in G \setminus H$。类似地，恰有两个右陪集：$$G = H \cup Hg$$对于相同的 $g$。

我们将根据元素 $g$ 是否属于 $H$ 或 $G \setminus H$ 来考虑两种情况。

• $g \in H$：如果 $g \in H$，那么：$$gH = H = Hg$$因为 $H$ 是一个子群，且在群运算下封闭。因此，左陪集和右陪集是相同的。

• $g \in G \setminus H$：如果 $g \notin H$，那么 $gH$ 和 $Hg$ 是除 $H$ 之外的另一个陪集。由于只有两个陪集，因此有：$$gH = G \setminus H = Hg$$因此，左陪集和右陪集再次相同。

在两种情况下，对于所有 $g \in G$，都有 $gH = Hg$。左陪集和右陪集的相等意味着 $H$ 是 $G$ 的正规子群。$$~\tag*{$\square$}$$

定义 设 $\phi:G\to\mathrm{Aut}_{\mathrm{set}}(X)$  为群作用。给定 $x\in X$，则 $x$ 的稳定子(stabilizer) 为子群

$$\begin{aligned}G_{x}&=\{g\mid gx=x\}=\{g\mid\phi_{g}(x)=x\}\\&\subset G\end{aligned}$$

命题 $G_{x}$ 是 $G$ 的一个子群。

证明：因为 $\phi_{g}(x)=x$ 和 $\phi_{g^{\prime}}(x)=x$。

$\Rightarrow x=\phi_{g}(x)=\phi_{g}(\phi_{g^{\prime}}(x))=\phi_{gg^{\prime}}(x)$ 且 $\phi_{1_{G}}(x)=\mathrm{id}_{X}x=x$。$$~\tag*{$\square$}$$

现在，给定 $G$ 在 $X$ 上的作用，我们可以将 $x\in X$ 关联到两件事物：$$ \begin{array}{cc} G_{x}\subset G, & \mathcal{O}_{x}\subset X\\ \text{稳定子} & \text{轨道} \end{array}$$

命题 函数$$\begin{aligned}G/G_{x}&\to \mathcal{O}_{x}\\gG_{x}&\mapsto gx=\phi_{g}(x)\end{aligned}$$是一个双射。

证明：它是良定义的，因为$$\begin{aligned}gG_{x}=g^{\prime}G_{x} &\Rightarrow g^{\prime}=gh~\text{对于某些}~h\in G_{x}\\&\,\begin{aligned} \Rightarrow g^{\prime}x&=(gh)x\\ &=g(hx)\\ &=gx\end{aligned}\end{aligned}$$单射性：$$\begin{aligned}g^{\prime}x=gx &\Rightarrow g^{-1}\cdot g^{\prime}x=x\\&\Rightarrow g^{-1}\cdot g^{\prime}\in G_{x}\\&\Rightarrow g^{\prime}=gh~\text{对于某些}~h\in G_{x}\\&\Rightarrow gG_{x}=g^{\prime}G_{x}\end{aligned}$$满射性：$x^{\prime}\in\mathcal{O}_{x} \Rightarrow x^{\prime}=gx$ 对于某些 $g\in G$。$$~\tag*{$\square$}$$

推论（轨道——稳定子定理） 如果 $|G_{x}|$, $|\mathcal{O}_{x}|$是有限的，那么 $|G|$ 也是有限的。此外，$|G|=|G_{x}||\mathcal{O}_{x}|$。

证明：根据命题，在左陪集 $G/G_x$ 与轨道 $\mathcal{O}_x$ 之间存在双射关系，因此：

陪集的数量：$|G/G_x| = |\mathcal{O}_x|$。

每个左陪集 $gG_x$ 恰好包含 $|G_x|$ 个元素，因为 $G_x$ 是 $G$ 的一个子群。

因此，$G$ 的元素总数是陪集的数量与每个陪集的大小的乘积：$$|G| = |G/G_x| |G_x| = |\mathcal{O}_x||G_x|。$$由于 $|\mathcal{O}_x|$ 和 $|G_x|$ 均为有限，因此它们的乘积 $|G|$ 也是有限的。

因此，如果 $|G_x|$ 和 $|\mathcal{O}_x|$ 是有限的，则 $G$ 是有限的，其大小为 $|G| = |G_x||\mathcal{O}_x|$。$$~\tag*{$\square$}$$这就是所谓的轨道——稳定子定理，它非常棒。

例 4.6 令 $P_n \subset \mathbb{R}^2$ 为在原点处的正 $n$ 边形。令 $D_{2n} \subset GL_2(\mathbb{R})$ 为线性变换的群，使得$$\forall g \in D_{2n}, \quad g(P_n) = P_n。$$这意味着 $g(P_n) \subset P_n$，且 $P_n \subset g(P_n)$。但不意味着 $g(x) = x$，对于所有 $x \in P_n$。

即，$D_{2n}$ 是 $P_n$ 的线性对称群。

命题 4.16 $|D_{2n}|=2n$

定义 4.10 $D_{2n}$ 称为第$n$二面体群($n$th dihedral group)。

集合 $P_n$ 不会有帮助——它有无穷多的元素。但是，如果 $D_{2n}$ 作用于 $P_n$，它必须对 $P_n$ 的顶点 $v_1, v_2, \ldots, v_n$ 进行排列。因此 $D_{2n}$ 作用于集合 $V = \{v_1, v_2, \ldots, v_n\}$。

给定某个顶点 $v_i$，我们可以看到$$\mathcal{O}_{v_i} = V。$$为什么？旋转 $\frac{2\pi}{n}$ 是线性的，并且将 $P_n$ 变换为 $P_n$（因为我们选择了 $P_n$ 以其中心在原点）。因此，旋转 $\frac{2\pi k}{n}$ 属于 $D_{2n}$，并且旋转 $v_i$ 通过 $\frac{2\pi k}{n}$ 会命中每个 $v_j$。

那么稳定子是什么？

如果 $v_i$ 被固定，那么 $g \in D_{2n}$ 对 $v_{i-1}$ 和 $v_{i+1}$ 能做什么呢？

• 如果 $g(v_{i-1})=v_{i-1}$，则我们有两个线性独立的向量——$v_i$ 和 $v_{i-1}$ 被 $g$ 固定。因此 $g = \text{id}_{\mathbb{R}^2} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$。
• 否则，$g(v_{i-1}) = v_{i+1}$。则 $g$ 必须是关于穿过原点 $\vec{O}$ 和 $v_i$ 的直线的反射。

所以恰好存在两个 $D_{2n}$ 的元素固定 $v_i$。即，$v_i$ 的稳定子的序数为 2（因此同构于 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$）。

根据轨道-稳定子定理，$$\begin{aligned}|D_{2n}|&=2 \cdot |\mathcal{O}_{v_i}|\\&=2 \cdot |V|\\&=2 \cdot n。\end{aligned}$$

例 （旋转对称性） 设 $T$ 为以原点为中心的正四面体。令 $G \subset SO_3(\mathbb{R})$ 为满足 $g(T) = T$ 的旋转群。

那么 $G$ 作用于 $T$ 的顶点集。$T$ 有四个顶点：$v_1, v_2, v_3, v_4$。

首先计算某些 $v_i$ 的稳定子。如果 $g$ 是一个固定 $v_i$ 的旋转，它必须旋转 $v_i$ 对面的面，并固定穿过 $v_i$ 的直线。

然后有三种可能的平面旋转——每种旋转分别为 $\frac{2\pi}{3}$, $\frac{4\pi}{3}$ 或 $0$ 弧度。因此 $v_i$ 的稳定子是一个阶为 3 的群（因此同构于 $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$）。

轨道是什么？每一个顶点！因为如果你想找到 $g$ 使得 $g(v_i) = g(v_j)$，则选择一个旋转固定某个 $v_k$，且 $v_k \neq v_i, v_j$，并旋转！

根据轨道-稳定子定理，$$\begin{aligned}|G|&=3\cdot|\mathcal{O}_{v_i}|\\&=3 \cdot 4\\&=12。\end{aligned}$$

我们将看到这个群的具体是什么。