数学

抽象代数——群作用(a)

正如一位最伟大的数学家所说，让数学自己说话——不必觉得你需要为一切提供动机。如果它是美丽的，它会自己激励自己。因此，话虽如此，我不想为你动机群作用，但其历史实际上相当有趣，所以值得讨论。

所以，如果你是19世纪中期的法国或德国数学家，你对群的定义将不会是我们在上述背景中给出的那个。事实上，群被简单地定义为矩阵群$GL_n(\mathbb{R})$，如果你想在一个使一切绝对美丽的世界中工作，可能会使用$\mathbb{C}$。自然地，我们有一个双射：$$GL_n(\mathbb{R}) \simeq \mathrm{Aut}(V),\tag{$\star$}$$其$V$是一个维数为$n$的实向量空间。因此，通过上述双射来研究$GL_n(\mathbb{R})$的元素如何表现是很自然的，而不是盲目地进行行简化——这个在自同构($\star$)中的“群作用”实际上产生了你们之前学过的更抽象的线性代数理论！这实际上被称为群表示，当你有一个从$G$到某个向量空间的线性自同构群的群同态时，就是群表示，我们很快也会学习到。关键是，群作用自然地从对自同构($\star$)的研究中产生，所以我们所研究的并非完全是人为构造的。要理解我们是如何从研究向量空间的线性自同构转到仅仅研究集合的自同构，事实证明，这种群作用的概念在线性代数之外的领域也是普遍存在的，所以为什么不将我们的群作用理论从向量空间“推广”到集合呢！事实证明，这种类型的过程在代数中非常重要。你需要看看你手上有什么，尝试去除任何你不一定需要用来研究“抽象理论”的结构，看看是否能得到一个有趣的理论。正是这种过程实际上促使了Emmy Nöther在20世纪初定义了我们当前的群的概念。

定义 令$X$是一个集合，$G$是一个群。$G$在$X$上的群作用(group action) 是一个同态$$ \phi: G\to\mathrm{Aut}(X).$$

定义 $G$在$X$上的一个左群作用(left group action) 是一个映射$$ \begin{aligned} G\times X&\to X\\ (g,x) &\mapsto gx \end{aligned}$$使得

• $1_{G}x=x$。

• 对于$g,h\in G$，$g(hx)=(gh)x$。

例 令$S^{1}={z\in\mathbb{C}\mid |z|=1}$。定义$$\begin{aligned} \phi:S^{1}&\to \mathrm{Aut}(\mathbb{C})\\ z&\mapsto f_{z} \end{aligned}$$其中，$f_{z}(\omega):=z\cdot\omega$ (绕$z$旋转)。

命题 一个群作用确定了集合的一个映射$$G\times X\to X$$其中，我们将$(g,x)$的值写为$gx$。

映射满足(a) $1_{G}x=x$

(b) $(gh)x=g(hx)$

反之，任何映射$G\times X\to X$满足(a),(b)确定一个群作用。

证明：给定

$$\phi:G\to \mathrm{Aut}_{\mathrm{set}}(X)$$

令

$$\phi(g)=\phi_{g}$$

则令$$G\times X\to X$$为$$(g,x)\mapsto \phi_{g}(x)$$(a) 则$\phi_{1_{G}}=\mathrm{id}_{X}$ (因为$\phi$是一个同态), 所以

$$\begin{aligned}(1,x)\mapsto \phi_{1}(x)&=\mathrm{id}_{X}(x)\\&=x\end{aligned}$$

(b) $\phi(g_{1}g_{2})=\phi(g_{1})\phi(g_{2})$，因为$\phi$是一个群同态。

因此，$$\phi_{g_{1}g_{2}}(x)=\phi_{g_{1}}\circ\phi_{g_{2}}(x)\qquad \forall x.$$根据记号，$$\begin{aligned}(g_{1}g_{2})(x)&=\phi_{g_{1}}(g_{2}x)\\&=g_{1}(g_{2}x).\end{aligned}$$反之，如果我们给定一个映射$G\times X\to X$满足(a),(b)，限制映射到集合$\{g\}\times X\subset G\times X$。

映射$\{g\}\times X\to X$可以用下面的映射识别$$\begin{aligned}\psi_{g}:X\cong {g}\times X&\to X\\x\mapsto(g,x)&\mapsto x\end{aligned}$$$\psi_{g}$是一个双射，因为(a)和(b)。首先看$$\begin{aligned}\psi_{1_{G}}:X\cong{1_{G}}\times X&\to X\\x\mapsto(1_{G},x)&\mapsto 1_{G}\cdot x\end{aligned}$$通过(a)，$1_{G}\cdot x=x\leqslant 0$

$$\psi_{1_{G}}(x)=x.$$这意味着$\psi_{1_{G}}$是恒等双射，$$\psi_{1_{G}}=\mathrm{id}_{X}.$$等于从$X$到$X$的映射的集合上的元素。

接下来，注意到$\psi_{g}$对于$\forall g$是一个双射。这是因为

单射：

$$\begin{align*}&&\psi_{g}(x)&=\psi_{g}(y)\qquad&\text{记号}\\&\Rightarrow&\qquad gx&=gy\qquad&\text{因为给出了$G\times X\to X$。}\\&\Rightarrow&\qquad g^{-1}(gx)&=g^{-1}(gy)\qquad&\text{(b) ($x^{\prime}=x$ $\Rightarrow$ $hx^{\prime}=hx$, $\forall h\in G$)}\\&\Rightarrow&\qquad 1_{G}x&=1_{G}y\qquad&\\&\Rightarrow&\qquad x&=y\qquad&\text{(a)}\end{align*}$$

满射: 如果$x\in X$，令$y=g^{-1}x$，则$$\begin{aligned}\psi_{g}(y)&=g(g^{-1}x)\\&=(gg^{-1})x\\&=x.\end{aligned}$$所以$\psi_{g}\in\mathrm{Aut}_{\mathrm{set}}(X)$, $\forall g\in G$。最后，$g\mapsto \psi_{g}$是一个同态，因为$$g_{1}g_{2}\mapsto \psi_{g_{1}g_{2}},$$并且$$\begin{aligned}\psi_{g_{1}g_{2}}(x)&=(g_{1}g_{2})x\\&=g_{1}(g_{2})x\\&=\psi_{g_{1}}(g_{2})x\\&=\psi_{g_{1}}(\psi_{g_{2}}(x))\\&=\psi_{g_{1}}\circ\psi_{g_{2}}(x)\qquad \forall x.\end{aligned}$$$$\Rightarrow\qquad \psi_{g_{1}g_{2}}=\psi_{g_{1}}\circ\psi_{g_{2}}.$$$$~\tag*{$\square$}$$

我们如何证明两个函数$f,g:A\to B$是相同的?

说明$f(a)=g(a)$对于所有$a\in A$都成立。这是$f=g$的定义。

所以，你可能会发现更难将群作用看成是一个映射$$G\times X\to X$$满足(a),(b)，相对于看成一个同态$$G\to \mathrm{Aut}_{\mathrm{set}}(X)$$