数学

抽象代数——自同构

理解乘积群自然引出了对群内对称性的研究。自同构是一个从群映射到自身的双射同态，它描述了群的结构如何以不同的方式映射到自身。当自同构应用于乘积群时，尤其引人注目，因为它揭示了多个群的内部结构在映射下如何相互作用。

定义 令$X$是一个集合。我们记$$\mathrm{Aut}(X):=\mathrm{Aut}_{\text{set}}(X):=\{\text{双射}~X\to X\}$$为从$X$到它本身的双射的集合。

命题 $\mathrm{Aut}(X)$在复合下构成一个群。

证明: $\mathrm{Aut}(X)$在复合下是一个群, 因为

(1) 复合函数是结合的:$$(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h).$$$\begin{aligned}(2)~\mathrm{id}{X}:X&\to X\text{是恒元}, \text{因为}f\circ \mathrm{id}{X}=\mathrm{id}_{X}\circ f=f. \\ x&\mapsto x \end{aligned}$

(3) $f^{-1}$是$f$的逆:$$f\circ f^{-1}=\mathrm{id}_{X}=f^{-1}\circ f.$$$$~\tag*{$\square$}$$