数学

抽象代数——乘积群

乘积群是一种通过组合已知群的元素和运算来构造新群的方法。

定义 给定两个群 $G_{1}$ 和 $G_{2}$，乘积群(product group) $G_{1}\times G_{2}$ 是有序对的集合：$$G_{1}\times G_{2}={(g_{1},g_{2})\mid g_{1}\in G_{1}, g_{2}\in G_{2}}$$其群运算定义为$$(g_{1},g_{2})\cdot (h_{1},h_{2})=(g_{1}\cdot h_{1},g_{2}\cdot h_{2})。$$

命题 给定两个群 $G_{1}$ 和 $G_{2}$，$G_{1}\times G_{2}$ 是一个群。

证明：(1) 结合性：由 $G_{1}$ 和 $G_{2}$ 的结合性直接得出。

(2) 单位元：$(1_{G_{1}},1_{G_{2}})$ 是单位元。

(3) 逆元：$(g_{1},g_{2})^{-1}=(g_{1}^{-1},g_{2}^{-1})$。$$~\tag*{$\square$}$$

例 (实数的Cartesian积)群 $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ 在标准加法下与Euclid平面 $\mathbb{R}^{2}$ 同构。

例 (Klein四元群)$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 被称为Klein四元群(Klein four group)。它是最小的非循环群。

例 如果 ${z\in T\subset \mathbb{C}: |z|=1}$，则 $\mathbb{C}^{\times}=\mathbb{R}^{\times}\times T$。