抽象代数——群同态

每当你定义一个想法时，最好能知道这个想法是哪些函数的朋友。

提问： 我们要研究哪些类型的函数?

例$$\begin{aligned}\text{集合}~S,T~&\leftrightarrow~\text{任意函数}~f:S\to T\\\text{空间}~X,Y~&\leftrightarrow~\text{连续函数}~f:X\to Y\\\text{光滑曲线+曲面}~X,Y~&\leftrightarrow~\text{可微函数}~f:X\to Y\\\text{群}~G,H~&\leftrightarrow~\text{群同态}~\phi:G\to H\end{aligned}$$

定义令$G,H$是群。从$G$到$H$的一个群同态(group homomorphism) 是一个函数$$\phi:G\to H$$使得 $\forall g_{1}, g_{2}\in G$,$$\phi(g_{1}g_{2})=\phi(g_{1})\phi(g_{2}).$$

$\begin{aligned} \text{\textbf{\small{例}}}~\exp:(\mathbb{R},+)&\to \mathbb{R}^{\times}~\text{是一个群同态。}\ t&\mapsto \mathrm{e}^{t} \end{aligned}$

证明：$\forall t_{1},t_{2}\in(\mathbb{R},+)$,$$\mathrm{e}^{t_{1}+t_{2}}=\mathrm{e}^{t_{1}}\cdot \mathrm{e}^{t_{2}}$$$$~\tag*{$\square$}$$$\begin{aligned}\text{\textbf{\small{例}}}~\det: GL_{n}(\mathbb{R})&\to\mathbb{R}^{\times}~\text{是一个群同态。}\ M&\mapsto \det(M) \end{aligned}$

证明：$\forall M_{1},M_{2}\in GL_{n}(\mathbb{R})$, $$\det(M_{1}M_{2})=\det(M_{1})\det(M_{2})$$$$~\tag*{$\square$}$$$\begin{aligned}\text{\textbf{\small{例}}}~(\mathbb{R},+)&\to S^{1}~\text{是一个群同态。}\ t&\mapsto \mathrm{e}^{\mathrm{i}t} \end{aligned}$

证明：$\forall t_{1},t_{2}\in(\mathbb{R},+)$, $$\mathrm{e}^{\mathrm{i}(t_{1}+t_{2})}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_{1}}\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}t_{2}}$$$$~\tag*{$\square$}$$

例如果$V,W$是向量空间，它们在加法$+$下是群。任意线性映射$$ \phi: V\to W$$是一个群同态。任何线性子空间是一个子群。

证明：(a) 向量空间$V$是群, 因为$V$满足

(1) 结合律: $V$中得加法满足结合律, i.e. 对于$u,v,w\in V$, $(u+v)+w=u+(v+w)$;

(2) 恒元: 存在一个元素$0\in V$, 使得对于任意$v\in V$, 都有$v+0=v$;

(3) 逆元: 对于任意$v\in V$, 存在$-v\in V$, 使得$v+(-v)=0$。

(b) 任何两个向量空间$V$和$W$之间的线性映射$\phi:V\to W$是一个群同态, 因为$\phi$满足

(1) 同态的性质: 对于任意$u, v\in V$, 有$$\phi(u+v)=\phi(u)+\phi(v)\tag*{(线性映射的定义)}$$

(2) 保持恒元: 因为$\phi$是线性的,$$\phi(0_{V})=0_{W}$$其中, $0_{V}$和$0_{W}$分别是$V$和$W$中的恒元;

(3) 保持逆元: 对于任意$v\in V$,$$\phi(-v)=-\phi(v)$$由于$\phi$的线性性, 依赖于标量乘法和加法逆元的$\phi$的这条性质成立。

一个线性子空间$U\subseteq V$在加法下也是一个群, 因为它继承了$V$的群结构;
$V$的恒元$0_{V}$也是$U$中的恒元;
$U$中的逆元也从$V$中继承。

$$~\tag*{$\square$}$$

命题令$\phi:G\to H$是一个群同态。我们有

(a) $\phi(1_{G})=1_{H}$。

(b) $\phi(g^{-1})=\phi(g)^{-1}$。

证明：(a) 对于任意$g\in G$,

$$\begin{aligned}\phi(g)&=\phi(1_{G}\cdot g)\\&=\phi(1_{G})\cdot\phi(g)\end{aligned}~~~~~~~~~~~~~~~~~~\begin{aligned}\text{(2)}&\\\text{(同态的定义)}&\end{aligned}$$

~~令$h$是$\phi(g)$的逆。则~~

$$\begin{aligned}\phi(g)\cdot h=\phi(1_{G})\cdot\phi(g)\cdot h\quad&\Rightarrow\quad 1_{H}=\phi(1_{G})\cdot 1_{H}\\&\Rightarrow\quad 1_{H}=\phi(1_{G})\end{aligned}~~~~~~~~~~~~~~~~~~\begin{aligned}\text{(3)}&\\\text{(2)}&\end{aligned}$$

(b) $1_{H}=\phi(1_{G})=\phi(g\cdot g^{-1})=\phi(g)\cdot\phi(g^{-1})\quad \Rightarrow \phi(g^{-1})=\phi(g)^{-1}$

$$~\tag*{$\square$}$$

命题 $\mathrm{id}_{G}: G\to G$是一个同态。

证明：考虑恒等映射$\mathrm{id}_{G}: G\to G$定义为$\mathrm{id}_{G}(g)=g$, 对于任意$g\in G$。要说明$\mathrm{id}_{G}$是一个同态, 我们需要说明:对于任意$g_{1}$, $g_{2}\in G$, 我们有

$$\mathrm{id}_{G}(g_{1}\cdot g_{2})=\mathrm{id}_{G}(g_{1})\cdot \mathrm{id}_{G}(g_{2})$$

对于任意$g_{1}$, $g_{2}\in G$, 我们有

$$\mathrm{id}_{G}(g_{1}\cdot g_{2})=g_{1}\cdot g_{2}\tag*{($\mathrm{id}_{G}$的定义)}$$

$$\mathrm{id}_{G}(g_{1})\cdot \mathrm{id}_{G}(g_{2})=g_{1}\cdot g_{2}\tag*{(因为$\mathrm{id}_{G}(g_{i})=g_{i}$)}$$

所以, 我们有

$$\mathrm{id}_{G}(g_{1}\cdot g_{2})=g_{1}\cdot g_{2}=\mathrm{id}_{G}(g_{1})\cdot \mathrm{id}_{G}(g_{2})$$

因此, $\mathrm{id}_{G}:G\to G$是一个同态。$$~\tag*{$\square$}$$

命题如果 $G\stackrel{\phi}{\longrightarrow}H$, $H\stackrel{\psi}{\longrightarrow}K$是同态，那么$\psi\circ\phi$是一个同态。

证明：为了证明两个同态映射$\phi$和$\psi$的复合映射也是一个同态, 我们需要验证$\psi\circ\phi$满足: 对于任意$g_{1}, g_{2}\in G$, 有$$(\psi\circ\phi)(g_{1}\cdot g_{2})=(\psi\circ\phi)(g_{1})\cdot (\psi\circ\phi)(g_{2})$$根据复合映射的定义, 我们得到$$(\psi\circ\phi)(g_{1}\cdot g_{2})=\psi(\phi(g_{1}\cdot g_{2}))$$应用$\phi$的同态性质, 我们得到$$\psi(\phi(g_{1}\cdot g_{2}))=\psi(\phi(g_{1})\cdot \phi(g_{2}))$$再应用$\psi$的同态性质, 我们得到$$\psi(\phi(g_{1})\cdot \phi(g_{2}))=\psi(\phi(g_{1}))\cdot\psi(\phi(g_{2}))$$根据复合映射的定义, 我们有$$\psi(\phi(g_{1}))\cdot\psi(\phi(g_{2}))=(\psi\circ\phi)(g_{1})\cdot (\psi\circ\phi)(g_{2})$$至此, 我们证明了$$(\psi\circ\phi)(g_{1}\cdot g_{2})=(\psi\circ\phi)(g_{1})\cdot (\psi\circ\phi)(g_{2})$$因此, 如果 $G\stackrel{\phi}{\longrightarrow}H$, $H\stackrel{\psi}{\longrightarrow}K$是同态，那么$\psi\circ\phi$是一个同态。$$~\tag*{$\square$}$$

命题如果$H\subset G$是一个子群，那么包含映射$i: H\hookrightarrow G$是一个同态。

证明：为了证明包含映射$i: H \hookrightarrow G$是一个同态, 其中$H \subset G$是一个子群, 我们需要验证同态性质: 对于所有$h_1, h_2 \in H$,$$i(h_1 \cdot h_2) = i(h_1) \cdot i(h_2)$$包含映射$i:H\hookrightarrow G$定义为: 对于任意$h\in H$, 有$$i(h)=h$$根据包含映射的定义, 对于任意$h_{1}, h_{2}\in H$, 有$$\begin{aligned}i(h_{1})=h_{1}\\i(h_{2})=h_{2}\end{aligned}$$所以$$i(h_{1})\cdot i(h_{2})=h_{1}\cdot h_{2}$$同时, $h_1 \cdot h_2\in H$, 根据包含映射定义$$i(h_1 \cdot h_2) = h_1 \cdot h_2$$因此, 对于任意$h_1, h_2 \in H$, 有$$i(h_1 \cdot h_2) = i(h_1) \cdot i(h_2)$$即: 包含映射$i: H \hookrightarrow G$是一个同态。$$~\tag*{$\square$}$$

定义给定一个群同态$$\phi:G\to H$$$\phi$的核(kernel) 是集合

$$\ker(\phi)=\{g\in G\mid\phi(g)=1_{H}\}.$$

$\phi$像(image) 是集合$$\mathrm{im}(\phi)=\{h\in H\mid h=\phi(g)~\text{对于一些}~g\in G\}.$$

命题 $\ker(\phi)\subset G$, $\mathrm{im}(\phi)\subset H$是子群。

证明：$\ker(\phi)$是$G$的子群, 因为:

(1) $\phi(g_{1}), \phi(g_{2})=1_{H}$

$$\begin{aligned} \Rightarrow \phi(g_{1}g_{2})&=\phi(g_{1})\cdot\phi(g_{2})\\ &=1_{H}\cdot 1_{H}\\ &=1_{H} \end{aligned}$$

(2) $\phi(1_{G})=1_{H}$, 所以$1_{G}\in\ker(\phi)$.

(3) $\phi(g)=1_{H}$

$$\begin{aligned} &\Rightarrow\quad \phi(g^{-1})=1_{H}^{-1}=1_{H}\\ &\Rightarrow\quad g^{-1}\in\ker(\phi) \end{aligned}$$

$\mathrm{im}(\phi)$是$H$的子群, 因为

(1) $h_{i}=\phi(g_{i})$ $\Rightarrow$ $h_{1}h_{2}=\phi(g_{1})\phi(g_{2})=\phi(g_{1}g_{2})$.

(2) $\phi(1_{G})=1_{H}$, 所以$1_{H}\in\mathrm{im}(\phi)$.

(3) $h=\phi(g)$ $\Rightarrow$ $h^{-1}=\phi(g^{-1})$.

$$~\tag*{$\square$}$$

数学 抽象代数——群同态

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