抽象代数——子群

定义令 $G$ 是一个群，并且 $H \subset G$。 $H$ 被称为是 $G$ 的一个子群(subgroup)，如果满足

(1) $\forall h_1, h_2 \in H$，$h_1 h_2 \in H$ 。(在乘法下封闭)

(2) $1_G \in H$ 。

(3) 如果 $h \in H$ ，则 $h^{-1} \in H$ 。例 2.1 $\mathbb{R}_{>0} \subset \mathbb{R}^{\times}$是一个子群。

证明: $\mathbb{R}_{>0}$ 是一个 $\mathbb{R}^{\times}$的一个子群，因为

(1) $\forall h_1, h_2 \in \mathbb{R}_{>0}$, $h_1 h_2 \in \mathbb{R}_{>0}$ 。

(2) $1 \in \mathbb{R}_{>0}$ 。

(3) 如果$h\in\mathbb{R}_{>0}$，则$h^{-1}=\dfrac{1}{h}\in\mathbb{R}_{>0}$ 。

$$~\tag*{$\square$}$$

例 $\mathbb{Z}_{\geqslant 0} \subset(\mathbb{Z},+)$ 不是一个子群。

证明： $\mathbb{Z}_{\geqslant 0}$不是 $\mathbb{Z}$ 的一个子群，因为不是所有元素 $z \in \mathbb{Z}$ 有一个逆。举例而言， $z=1$ ，它的逆应该是$-1$，但它不在$\mathbb{Z}_{\geqslant 0}$中。$$~\tag*{$\square$}$$

例 $SL_{n}(\mathbb{R}):=\{M\in GL_{n}(\mathbb{R})\mid \det M=1\}\subset GL_{n}(\mathbb{R})$是一个子群。

证明： $SL_n(\mathbb{R})$ 是 $GL_n(\mathbb{R})$ 的一个子群，因为

(1) $\forall M_1, M_2 \in SL_n(\mathbb{R}) ， M_1 M_2 \in SL_n(\mathbb{R})$ ，因为$$\det\left(M_1 M_2\right)=\det\left(M_1\right) \det\left(M_2\right)=1 \times 1=1 .$$

(2) 单位矩阵 $1_{GL_n(\mathbb{R})} \in SL_n(\mathbb{R})$ ，因为 $\det\left(1_{GL_n(\mathbb{R})}\right)=1$ 。

(3) $\forall M \in SL_n(\mathbb{R})$ ，则 $M^{-1} \in SL_n(\mathbb{R})$ ，因为 $\det\left(M^{-1}\right)=\frac{1}{\det(M)}=1$ 。$$~\tag*{$\square$}$$

例令 $\mathbb{C}^{\times}:=\mathbb{C} \backslash{0}$ 。定义 $m$ 为复数乘法: $\forall z_1, z_2 \in \mathbb{C}^{\times}$，$$m\left(z_1, z_2\right)=z_1 \times z_2 .$$我们有

(a) $\mathbb{C}^{\times}$是一个群。

(b) 令$$S^1={z\mid | z |=1} .$$则 $S^1 \subset \mathbb{C}^{\times}$是一个子群。

证明: (a) $\mathbb{C}^{\times}$是一个群，因为

(1) 复数乘法满足结合律。

(2) $\forall z \in \mathbb{C}^{\times}, 1 \times z=z \times 1=z$ 。

(3) $\forall z \in \mathbb{C}^{\times}$，令 $z^{-1}=\frac{\bar{z}}{|z|^2}$ 。

(b) $S^1$ 是 $\mathbb{C}^{\times}$的一个子群，因为

(2) $|1|=1$ ，所以恒元在 $S^1$ 中。

(3) 如果 $|z|=1$ ，则 $|\bar{z}|=1$ ，并且 $z^{-1}=\bar{z}$。$$~\tag*{$\square$}$$

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