数学

抽象代数——群的阶和群的中心

定义 令$G$是一个群。我们令$$|G|\in \mathbb{Z}_{\geqslant 1}\cup \{\infty\}$$为$G$中元素的数量。我们称$|G|$为$G$的阶(order)。

定义 对于$g\in G$，考虑集合

$$\{\ldots,\underbrace{g^{-1}\cdot g^{-1}}_{=:g^{-2}}, g^{-1}, \mathrm{id}_{G}, g, \underbrace{g \cdot g}_{=:g^{2}}, \underbrace{g\cdot g\cdot g}_{=:g^{3}},\ldots\}$$

我们定义 $g$的阶(order of $g$) 为$$|\langle g\rangle|$$

例

• $1_{G}\in G$的阶为$1$。

• $n\in\mathbb{Z}$, $n\neq 0$有无穷阶。

• $\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\in GL_{2}(\mathbb{R})$的阶为$2$，因为$$g^{2}=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=1_{GL_{2}(\mathbb{R})}$$所以${\ldots,g^{-1},1,g,\ldots}={1,g}$。

定理 1.5 (Euler函数) 阶为 $n$ 的循环群的生成元的数量由Euler函数$\varphi(n)$给出。

§1.5 群的中心

为了研究非Abel群， 我们经常关注满足交换律的子集。一个重要的概念便是群的中心：

定义 群$G$的中心(center), 记为$Z(G)$, 定义为:$$Z(G)=\{z\in G\mid zg=gz~\text{对于任意}~g\in G\}.$$

命题 一个Abel群的中心是整个群。

证明：一个群 $G$ 的中心定义为：$$Z(G) =\{z\in G \mid zg=gz~\text{对于所有}~g \in G\}.$$在一个Abel群中，每一对元素都可交换：$$g_{1} \cdot g_{2}=g_{2}\cdot g_{1} \quad \text{对于所有}~g_{1}, g_{2} \in G.$$因此，$G$ 中的每个元素都在中心，这意味着：$$Z(G)=G.$$$$~\tag*{$\square$}$$群$G$的中心是与群$G$中每个元素可交换的元素的集合。这个集合不仅是特殊元素的收集，它实际上构成$G$的一个结构。我们将在下一节引入这个结构。