数学

抽象代数——Abel群和循环群

例 令 $n \geqslant 1$ 和 $n \in \mathbb{Z}$ 。那么$$G=GL_n(\mathbb{R}):=\{n \times n \text{实矩阵} M \mid \det M \neq 0\}$$是群，其中$$m: G \times G \rightarrow G$$

通过矩阵乘法给出（这也说明一般情况下 $g h \neq h g$ ）。

证明： $GL_n(\mathbb{R})$ 是群，因为

(1) 矩阵乘法满足结合律。

(2) 单位矩阵是恒元。

(3) $\operatorname{det}(g) \neq 0 \Rightarrow g$ 是可逆的。$$~\tag*{$\square$}$$

由于矩阵的乘法不满足交换律， 这说明一般情况下，$gh\neq hg$! 那么如果群乘法是可交换的呢？ 我们有下面的定义:

定义 群$G$被称为Abel群(abelian group), 如果对于所有$g_{1}, g_{2}\in G$, 我们有$g_{1}g_{2}=g_{2}g_{1}$。

定义 群乘法对于不是所有元素都满足交换律的群叫非Abel群(non-abelian groups)。

尽管Abel群通过交换性提供了有用的结构，但某些Abel群甚至更为简单。如果我们可以用一个单独的元素生成整个群呢？这就引出了循环群的概念，循环群是Abel群中最基本的例子之一。

循环群的特殊之处在于它将整个群的结构简化为某个元素的幂或倍数，这个元素称为生成元。这种简单性使得循环群在群论中成为一个重要的构建块，同时也是解决更复杂问题的关键工具。

定义 当且仅当存在一个元素 $g\in G$，称为生成元(generator)，使得 $G$ 中的每一个元素都可以表示为 $g$ 的幂时，群 $G$ 被称为循环群(cyclic group)。$$G=\langle g\rangle:=\{g^{n}\mid n\in\mathbb{Z}\}$$

例 (整数在加法下构成的群)群 $(\mathbb{Z},+)$ 是一个以 $1$ 为生成元的循环群：$$\langle 1\rangle=\{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\}$$

例 (模运算群)在模 $n$ 的加法下，群 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=\{0,1,\ldots,n\}$ 是一个循环群。元素 $1$ 生成整个群：$$\langle 1\rangle=\{1,2,\ldots,n-1,0\}$$

命题 循环群是Abel群。

证明：设循环群为 $G$，由元素 $g$ 生成。那么 $\forall x,y\in G$，存在 $m, n$ 使得 $g^{m}=x$ 且 $g^{n}=y$。因此，$$xy=g^{m}g^{n}=g^{m+n}=g^{n}g^{m}=yx$$因此，$G$ 是Abel群。$$~\tag*{$\square$}$$