数学

抽象代数——群的性质

命题 (消去律) 令 $G$ 是一个群，并且 $g, h, k \in G$ 。假设$$g h=g k \text{.}$$则$$h=k \text{.}$$

类似地，我们有$$h g=k g \quad \Rightarrow \quad h=k$$

证明： $\exists g^{-1}$ ，使得 $g^{-1} g=1_G$

$$\begin{aligned}g h=g k & \Rightarrow g^{-1}(g h)=g^{-1}(g k) \\ & \Rightarrow\left(g^{-1} g\right) h=\left(g^{-1} g\right) k \\ & \Rightarrow 1_G h=1_G k \\ & \Rightarrow h=k\end{aligned}$$

我们运用了作为一个群的所有公理!$$~\tag*{$\square$}$$

评论: 消去律对于矩阵乘法不成立，除非 $g, h, k$ 是可逆的，比如 $g=0$ ?

命题 (恒元的唯一性) 群 $G$ 的恒元是唯一的。（即：如果两个元素 $1_G$ 和 $1_G^{\prime}$ 满足定义的恒元的性质，则 $1_G=1_G^{\prime}$ 。)

证明: 如果 $1_G$ 是恒元，则它必须满足方程: 对于任何 $g \in G$ ，$$1_{G}g=g1_{G}=g$$

特别地，如果 $1_G^{\prime}=g$ ，我们必须有$$1_G 1_G^{\prime}=1_G^{\prime} .$$

另一方面，如果 $1_G^{\prime}$ 也是恒元，我们必须有$$1_G 1_G^{\prime}=1_G .$$

根据传递性，我们有$$1_G=1_G^{\prime} .$$$$~\tag*{$\square$}$$

命题 (逆元的唯一性) 对于任意元素 $g \in G$ ，它的逆 $g^{-1}$ 是唯一的。(即：给定元素 $h$ ， $h^{\prime}$ 满足定义的 $g^{-1}$ 的性质，则 $h=h^{\prime}$ 。)

证明：假设 $h$ 和 $h^{\prime}$ 都是 $g$ 的逆。则$$g h^{\prime}=1_G .$$

通过在等式两边都左乘 $h$ ，我们得到$$h\left(g h^{\prime}\right)=h .$$

但是根据结合律，等号左边变成$$(h g) h^{\prime}=1_G h^{\prime}=h^{\prime} .$$

通过等号的传递性，我们有$$h^{\prime}=h .$$$$~\tag*{$\square$}$$