数学

抽象代数——群的例子

例 令

$$G=\{\ldots,-1,0,1, \ldots\}=: \mathbb{Z}$$

为整数的集合。定义$$G \times G \xrightarrow{m} G$$为$$m(g, h)=g+h$$(i.e. 整数加法)

比如，我们有$$m(-2,3)=1$$则 $(G, m)$ 是一个群。

证明: $(\mathbb{Z},+)$ 是一个群，因为

(1) $m$ 满足结合律，即:$$(g+h)+k=g+(h+k)$$(2) $0=1_G$ 是恒元，即:$$\begin{aligned}& m(0, g)=0+g=g \\ & m(g, 0)=g+0=g\end{aligned}$$(3) 每个元素都有一个逆元素:$$m(g,-g)=g+(-g)=0$$$$~\tag*{$\square$}$$

例 令

$$G=\{\ldots,-1,0,1, \ldots\}=: \mathbb{Z}$$

为整数的集合。并且令

$$\begin{aligned}m:G\times G & \rightarrow G\\ (a, b) & \mapsto a \times b\end{aligned}$$

举例

$$(2,3) \rightarrow 6$$

我们有 $(G, m)$ 不是群。

证明: $(\mathbb{Z}, \times)$ 不是群，因为不是所有元素 $z \in \mathbb{Z}$ 都有逆元素。举例而言， $z=2$ ，它的逆元素应该是 $\frac{1}{2}$ ，但不在 $\mathbb{Z}$ 中。$$~\tag*{$\square$}$$

上面的两个例子

$(\mathbb{Z},+)$ 是群。

$(\mathbb{Z}, \times)$ 不是群。

说明了知道 $m$ 很重要。无论如何，我们经常会缩写，比如说 "令 $G$ 是一个群"，省略提及 $m$ 。

例 令 $G=\mathbb{R}\setminus\{0\}$ (去掉 0 的实数的集合)。令

$$\begin{aligned}m: G \times G & \rightarrow G\\ (a, b) & \mapsto a \times b\end{aligned}$$

则 $G$ 是一个群。我们从现在起记为 $\mathbb{R}^{\times}$。

证明: $\mathbb{R}^{\times}$是群，因为

(1) 实数乘法满足结合律。

(2) 数字 1 是恒元。

(3) $\forall g \in \mathbb{R} \backslash{0}$ ，存在一个 $\frac{1}{g}$ ，使得 $g \frac{1}{g}=\frac{1}{g} g=1$ 。$$~\tag*{$\square$}$$