物理

[论坛资料室]重构数学 第二期——不是哥们，这也能叫自然数集？

上一期没有说人话，这期先用人话解释两个名词——后继和零元素$e$

网上有的科普会说，后继简单，$n^+$就是$n+1$；$e$也简单，$e$就是$0$

事实上，这么说直接破坏了数论的严谨性，因为我问你，加法是什么？$0$又是什么

当然，就拿后继来说，说后继就是加一并不是全然没有道理，反而正确的，这一点可以在日后介绍加法定义的帖子里看出来

但是目前“加法是什么”这个问题还摆在这儿，所以我认为，后继目前是可以理解为加一的，而不是就是加一

同理，$e$可以通过定义让它成为$0$，但是目前只是可以理解为$0$，而不是就是$0$

那么，解释完后，Peano公理就便于理解了

但是，我们这期，就要尝试着改变一下这些“理解为”后面的东西，比如说，把$e$理解为$1$，后继理解为乘二会怎么样？

那么，$e^+$就理解为了$1\times 2=2$，而$e^+$还有后继$(e^+)^+$，理解为$(1\times 2)\times 2=4$

如此下去，子子孙孙无穷匮也，我们所理解的自然数集$N$就变成了$\{1,2,4,8...\}$，即可以理解为是$\{2^n | n\in N_0\}$，此处的$N_0$就是我们平时所使用的那个$\{0,1,2,3,4...\}$的自然数集，为区分就这么写了

简单思考后就会发现，这里的$N$符合Peano公理，它的确是一个自然数集

好的，我们已经构建出了一个另类自然数集，那么，我们可以尝试着让思维飞↑起来，再天马行空一点

例如，把$e$理解为亲代，后继理解为下一代，那么这里的自然数集$N$就是$\{子n代 | n\in N_0 \}$，它也符合Peano公理，也是一种自然数集

再离谱一点呢？例如，把$e$理解为$f(0)$，$n^+$理解为$f(n)$，$f(n)$是任意函数

但是这样构成的集合就不一定是自然数集了，例如当$f(n)=1$，$f(n)=n!$，$f(n)=\sin \pi (n+1)$，$f(n)=d(n+1)~~(d(n)为除数函数)$时，这些函数所构成的集合就不是自然数集(为什么)

但是像当$f(n)=2n+1$，$f(n)=(n+1)^2$，$f(n)=\frac{1}{n+1}$，$f(n)=erf(n)$时，这些函数所构成的集合就是自然数集了(为什么)

所以，这里的$f(n)$是有一定条件的，请在评论区打出

综上，相信你已经对自然数集有了一个彻头彻尾的新认识，所以我自编了几道题给你们加深一下思考(上面那个也算)

2.$[0,1]$间的有理数集是不是自然数集

3.$[0,1]$间的实数集是不是自然数集

4.自己构造一种对于零元素和后继的离谱理解方式，使它们构成的集合是自然数集