§7 受积分约束的极值

本节探讨的问题是如何在满足积分约束的情况下，找到积分的稳定值：$$I[y]=\int_a^b F\left(x, y, y^{\prime}\right) \mathrm{d} x$$受积分约束$$J[y]=\int_a^b G\left(x, y, y^{\prime}\right) \mathrm{d} x=C$$我们可以使用初级课程中的Lagrange乘数法来解决这个问题。假设$\eta_1$和$\eta_2$是两个线性无关的检验函数，并考虑变分$$y \rightarrow y+\alpha_1 \eta_1+\alpha_2 \eta_2$$其中$\alpha_1$和$\alpha_2$是实数参数。对于固定的$\eta_1$和$\eta_2$，这确定了两个关于$\alpha_1$和$\alpha_2$的函数，$$\hat{I}\left(\alpha_1, \alpha_2\right)=I\left[y+\alpha_1 \eta_1+\alpha_2 \eta_2\right], \quad \hat{J}\left(\alpha_1, \alpha_2\right)=J\left[y+\alpha_1 \eta_1+\alpha_2 \eta_2\right]$$我们从初级课程中知道，寻找$\hat{I}\left(\alpha_1, \alpha_2\right)$的稳定值，满足$\hat{J}\left(\alpha_1, \alpha_2\right)=C$的问题，相当于寻找$\hat{I}\left(\alpha_1, \alpha_2\right)-\lambda \hat{J}\left(\alpha_1, \alpha_2\right)$的稳定值。

由于这对所有线性无关的$\eta_1$和$\eta_2$成立，实际上对于形式为$$y \rightarrow y+\sum_{i=1}^n \alpha_i \eta_i$$的变分，假设$n$个实数参数$\alpha_i$和线性无关的检验函数$\eta_i$，我们可以合理稳定值地认为，通过寻找$$I[y]-\lambda J[y]$$的稳定值，来找到在约束条件$J[y]=C$下的$I[y]$的稳定值。

因此$y$必须满足Euler-Lagrange方程$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(\frac{\partial}{\partial y^{\prime}}(F-\lambda G)\right)-\frac{\partial}{\partial y}(F-\lambda G)=0$$对于某个常数$\lambda$。此外，$y$还必须满足相应的固定端点或自然边界条件，其中自然边界条件现在为$$\frac{\partial}{\partial y^{\prime}}(F-\lambda G)=0 \quad \text { 在 } x=a \text{和} x=b \text{处}$$我们可以将这一结果记录为一个有用的定理：

定理 7.1 设$F, G$为两个光滑函数，并且$$I[y]:=\int_a^b F\left(x, y, y^{\prime}\right) \mathrm{d} x, \quad J[y]:=\int_a^b G\left(x, y, y^{\prime}\right) \mathrm{d} x$$那么在约束$J[y]=C$下的$I[y]$的任意光滑稳定值满足$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(\frac{\partial}{\partial y^{\prime}}(F-\lambda G)\right)-\frac{\partial}{\partial y}(F-\lambda G)=0$$对于某个常数$\lambda$。

自由悬挂链——悬链线

我们可以使用这种方法来找出理想化的恒定密度悬挂链条仅在两端支撑时的形状。假设链条位于由$y=y(x)$描述的曲线上，其端点固定在$x=\pm a$处，$y=b$。它的总长度是固定的：$$J[y]=\int_{-a}^a \sqrt{1+y^{\prime 2}} \mathrm{~d} x=\ell$$其中$\ell>2 a$。链条的平衡状态由最小化其重力势能确定，即$$I[y]=g \rho \int_{-a}^a y \sqrt{1+y^2} \mathrm{~d} x$$应用Lagrange乘数法，将$\rho g$吸收到$\lambda$中，得到$$F-\lambda G=(y-\lambda) \sqrt{1+y^{\prime 2}}$$这不显式依赖于$x$，因此Beltrami恒等式给出了一个第一积分：$$(y-\lambda)=c \sqrt{1+y^{\prime 2}}$$代入$y=\lambda+c \cosh u$容易得出解$$y=\lambda+c \cosh \left(\frac{x-x_0}{c}\right)$$将常数$c, \lambda, x_0$与给定数据$a, b, \ell$相匹配，作为一个练习留给读者。

Dido问题

另一个类似的经典问题是最简单的等周问题。在Euclid平面上，给定一个固定长度作为周长，能够围成的最大面积是多少？（答案是一个圆。）我们将考虑这个问题的稍微不同版本，其中面积位于给定直线的一侧，不失一般性为$x$轴。此时答案是将边界设为圆弧。你会发现这个问题被称为“Dido问题”，因为它可以被认为是在《Aeneid》中出现的。Dido（更广为人知的是她激发了普赛尔的著名哀歌）据说按照这个标准固定了迦太基的边界。直线$y=0$代表地中海的海岸线。

更多信息可以查看http://mathworld.wolfram.com/DidosProblem.html。

对于这个问题，我们可以取$F=y$和$G=\sqrt{1+y^{22}}$，其中边界曲线取为$y=y(x)$，但实际上将边界曲线表示为$(x(t), y(t))$的参数形式更好，其中$t$是任意参数。我们考虑以下泛函的极值：$$\int\left(y \dot{x}-\lambda \sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}\right) \mathrm{d} t$$Euler-Lagrange方程为：$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(\frac{-\lambda \dot{y}}{\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}}\right)=\dot{x}, \quad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(\frac{-\lambda \dot{x}}{\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}}\right)=-\dot{y} \tag{48}$$所以$$\frac{-\lambda \dot{y}}{\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}}=(x-a), \quad \frac{-\lambda \dot{x}}{\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}}=-(y-b)\tag{49}$$消去$\lambda$，得出$$(x-a) \dot{x}+(y-b) \dot{y}=0$$通过积分得到$$(x-a)^2+(y-b)^2=c^2$$因此这些曲线必须是圆形的。

对于原始的Dido问题，我们感兴趣的是固定边界条件$y(t)=0$在每个端点处，以及$x(t)$的自然边界条件（即在给定$y=0$的情况下，我们考虑所有可能$x$的极值）。$x$的自然边界条件为$y-\lambda \dot{x} / \sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}=0$，由于$y=0$，这意味着$\dot{x}=0$。这里$\mathrm{d} y / \mathrm{d} x$是无穷大的，这就是为什么$y(x)$的表述不适用的原因。因此，圆的中心必须位于$y=0$上，并且在给定约束的情况下，稳定面积将由半圆界定，这与预期相符。

这些是我们在泥泞场问题中遇到的最快路径（更正式地，双曲平面上的短程线）中的相同半圆。如果我们以略微不同的方式进行，可以更直接地看出这一点。方程(47)中的第二个

方程可以写为$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(\frac{\lambda \dot{x}}{\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}}-y\right)=0, \quad \text { 所以 } \frac{\lambda \dot{x}}{\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}}-y=\text { 常数. }$$当施加边界条件$y=0, \dot{x}=0$时，该常数必须为0，因此$$y \sqrt{1+y^{\prime 2}}=\lambda$$这与最快路径问题中产生的方程相同，在(28)中出现，因此具有相同的半圆解。

这一特征扩展到更一般的土地围护问题，在该问题中，一个变化的值$h(y)$与土地相关，并且目标是确保在给定边界长度的情况下最大的总价值。在这种情况下，问题可以通过取$F=H(y)$和$G=\sqrt{1+y^2}$来表示，其中$H(y)=\int_0^y h(u) \mathrm{d} u$。对于自然边界条件的情况，得到的方程为$$H(y) \sqrt{1+y^{\prime 2}}=\lambda$$你可以检查该方程与泥泞场上最快路径问题（当移动速度为$H(y)$时）所产生的方程相同。

因此，如果$h(y)=1 / \sqrt{y}$，则$H(y)=2 \sqrt{y}$，我们重新得到了从最速降线问题中产生的方程(30)，因此解为摆线。

约束与价格再探

现在我们有了另一个可以将约束视为定义价格的例子。如果我们将约束$J=C$改为$J=C+\delta C$，可以得到多少额外的$I$？记$I(C)$为在约束$J=C$下$I$的稳定值。然后我们发现$$\lambda=\frac{\mathrm{d} I(C)}{\mathrm{d} C}\tag{50}$$为$\lambda$提供了一个很好的解释。

要证明这一点，请回想，$I-\lambda J$的解是稳定值的，即在极值$y$变为与边界条件一致的任意$y+\delta y$时，解在一阶上保持不变。假设我们选择特定的$\delta y$，使得$y+\delta y$成为约束$J=C+\delta C$问题的极值。然后我们有$$I(C)-\lambda C=I(C+\delta C)-\lambda(C+\delta C)$$在一阶上。减去并取$\delta C \rightarrow 0$，我们恢复了该关系。

因此，在Dido问题中，解中的$\lambda$值表示增加定义周长的绳索长度所获得的额外面积的价值。我们因此解决了一个额外的问题：Dido应该愿意为额外的绳索支付多少钱。

具体来说，在该问题中，对于长度为$L$的周长，稳定值面积为$I(L)=L^2 /(2 \pi)$，因此$\mathrm{d} I / \mathrm{d} L=L / \pi$，这正是圆的半径。很容易检查这确实是$\lambda$的值。