§6 多独立变量和更高阶导数情况的推广

§6.1 多个自变量

假设我们不再考虑曲线$y(x)$的泛函的稳定值，而是提高一个维度，考虑曲面$z(x, y)$的变分。因此，我们定义泛函$$I[z]=\iint_R F\left(x, y, z, z_x, z_y\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$$其中$R$是$(x, y)$平面上的某个区域，$z_x, z_y$是$z(x, y)$关于$x$和$y$的偏导数。

例如，$F\left(x, y, z, z_x, z_y\right)=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}$将给出曲面的面积，从而可以广泛地研究极小曲面（不限于旋转曲面）。

方法如往常一样，是沿一维路径改变因变量：$$z(x, y) \rightarrow z(x, y)+\alpha \eta(x, y)$$得到$$\left.\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{~d} \alpha}\right|_{\alpha=0}=\iint_R\left(\eta \frac{\partial F}{\partial z}+\eta_x \frac{\partial F}{\partial z_x}+\eta_y \frac{\partial F}{\partial z_y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$$

我们可以使用散度定理（或Green定理，因为我们在二维中）来消去$\eta_x$和$\eta_y$：

其中$\mathbf{n}=\left(n_x, n_y\right)$是边界曲线$\partial R$上的外指法向量，弧长为$s$。

在固定边界条件下，$\eta=0$在$\partial R$上，$\partial R$上的积分消失，因此我们得到：$$\left.\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{~d} \alpha}\right|_{\alpha=0}=\iint_R \eta\left(\frac{\partial F}{\partial z}-\frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial F}{\partial z_x}-\frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial F}{\partial z_y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$$我们得出结论，Euler-Lagrange方程在$R$中的所有点必须成立：$$\frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial F}{\partial z_x}+\frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial F}{\partial z_y}-\frac{\partial F}{\partial z}=0$$直接进一步推广到$n$个独立变量而非2个独立变量。结果是以下定理。

定理 6.1 设$F$为一个光滑函数，$I$为泛函$$I[u]=\int_R F\left(x_1, \ldots, x_n, u, u_1, \ldots, u_n\right) \mathrm{d} x_1 \ldots \mathrm{d} x_n$$在$R \subseteq \mathbb{R}^n$区域上，对光滑函数$u=u\left(x_1, x_2 \ldots x_n\right)$，其中$u_i$表示$\partial u / \partial x_i$。那么在$\partial R$上满足固定边界条件的$I[u]$的最小函数满足Euler-Lagrange方程$$\sum_{i=1}^n \frac{\partial}{\partial x_i} \frac{\partial F}{\partial u_i}-\frac{\partial F}{\partial u}=0$$

注意：在上述定理中，我们假设不仅$u$，而且区域$R$也是足够“良好”的，以使该结论成立。

我们可以通过引入记号$$\frac{\partial F}{\partial \nabla u}=\left(\frac{\partial F}{\partial u_1}, \frac{\partial F}{\partial u_2}, \ldots, \frac{\partial F}{\partial u_n}\right)\tag{46}$$将Euler-Lagrange方程更简洁地写为$$\nabla \cdot\left(\frac{\partial F}{\partial \nabla u}\right)-\frac{\partial F}{\partial u}=0\tag{47}$$

例 16（Laplace方程的重构） 一个简单而优美的例子是，当$$F=\frac{1}{2}|\nabla u|^2=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^n u_i^2$$此时，Euler-Lagrange方程为$$0=\sum_{i=1}^n \frac{\partial}{\partial x_i} \frac{\partial F}{\partial u_i}-\frac{\partial F}{\partial u}=\sum_{i=1}^n \frac{\partial}{\partial x_i} u_i=\nabla^2 u$$即Laplace方程或其$n$维推广形式。这表明Laplace方程或波动方程问题可以很容易地以变分形式重构——这一思想在现代量子场论以及使用有限元方法求解椭圆方程的数值解中都是基础性的。

§6.2 高阶导数

现在假设我们希望找到以下泛函的稳定值：$$I[y]=\int_a^b F\left(x, y, y^{\prime}, y^{\prime \prime}\right) \mathrm{d} x .$$对$y(x)$进行变分，如前所述，我们得到$$\left.\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{~d} \alpha}\right|_{\alpha=0}=\int_a^b\left(\eta \frac{\partial F}{\partial y}+\eta^{\prime} \frac{\partial F}{\partial y^{\prime}}+\eta^{\prime \prime} \frac{\partial F}{\partial y^{\prime \prime}}\right) \mathrm{d} x$$通过两次分部积分，我们得到$$\begin{aligned}\left.\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{~d} \alpha}\right|_{\alpha=0} & =\left[\eta\left(\frac{\partial F}{\partial y^{\prime}}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \frac{\partial F}{\partial y^{\prime \prime}}\right)+\eta^{\prime} \frac{\partial F}{\partial y^{\prime \prime}}\right]_a^b \& +\int_a^b \eta\left(\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \frac{\partial F}{\partial y^{\prime}}+\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{~d} x^2} \frac{\partial F}{\partial y^{\prime \prime}}\right) \mathrm{d} x\end{aligned}$$因此，作为稳定解的必要条件，现在必须满足以下Euler-Lagrange方程$$\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \frac{\partial F}{\partial y^{\prime}}+\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{~d} x^2} \frac{\partial F}{\partial y^{\prime \prime}}=0 。$$这是一个四阶微分方程，需要四个积分常数。这些常数必须从合适的端点条件（现在既在$y$上也在$y^{\prime}$上）和自然边界条件中获得$$\frac{\partial F}{\partial y^{\prime}}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \frac{\partial F}{\partial y^{\prime \prime}}=0, \quad \frac{\partial F}{\partial y^{\prime \prime}}=0$$

例 17（跳板问题） 我们将研究一个问题，以展示变分法如何解决工程和经济学中出现的优化实际问题。

我们考虑泛函$$E[y]=\int_0^L\left(\frac{1}{2} K\left(y^{\prime \prime}\right)^2+\rho g y\right) \mathrm{d} x$$这个泛函可以被视为水平长度为$L$的弹性梁的总能量，该梁在$x=0$处被夹紧，因此在该点有$y=0, y^{\prime}=0$，但在$x=L$处是自由的，并在其自身重量下弯曲。（我们假设$y$足够小，使得该泛函合理地近似物理情况。）梁将处于能量最小化的平衡位置，因此变分法提供了一种找到梁形状的方法。

Euler-Lagrange方程为$$K y^{\prime \prime \prime \prime}+\rho g=0$$四个边界条件由一端的$y(0)=y^{\prime}(0)=0$提供，另一端则为自然边界条件$y^{\prime \prime}(L)=y^{\prime \prime \prime}(L)=0$。这显然指定了一个四次多项式，满足边界条件的解为$$y(x)=-\frac{\rho g}{24 K}\left(x^4-4 L x^3+6 L^2 x^2\right)$$注意在这种情况下，跳板的自由端将下垂至高度$y=-\frac{\rho g L^4}{8 K}$。想象泳池中的游泳者将手放在自由端，并将其固定在高度$y=-\frac{\rho g L^4}{8 K}+h$。显然，如果$h=0$，则不需要施加任何力。但对于$h \neq 0$，需要施加一个力。我们可以通过扩展分析来评估这个力。

首先，再次解决固定端条件$y(L)=-\frac{\rho g L^4}{8 K}+h$的稳定问题。为简化表达式，以下写作$w=\frac{\rho g}{K}$。我们很容易发现，现在有$$y(x)=-\frac{w}{24}\left(x^4-4 L x^3+6 L^2 x^2\right)+\frac{h}{2 L^4}\left(-L x^3+3 L^2 x^2\right)$$显然，现在可以将能量泛函$E[y]$视为$h$的函数。当$h=0$时，它将取最小值。如果自由端被抬起，能量将增加，而这只能来自所做的功，该功由$\int F(h) \mathrm{d} h$给出，其中$F(h)$是保持$y(L)=-\frac{w}{8 L^4}+h$所需的力。因此$F(h)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} h} E(h)$。

这很容易计算出为$\frac{3 h K}{L^3}$。

回到$x=L$端自由的情况，我们可以应用相同的思想来找到在$x=0$处施加的力，以维持约束条件。在这种情况下，更容易看出保持$y(0)=0$的向上力只是跳板的总重量$\rho g L$；稍微不太明显的是，夹具施加了一个力矩，其力矩为$\frac{1}{2} \rho g L^2$，以维持条件$y^{\prime}(0)=0$。在这种情况下，我们使用力矩乘以角度$=$所做的功。

你可能已经熟悉了与约束相关的力这一概念，因为这正是你在初级力学中遇到的法向反作用力的概念。

但假设泛函测量的不是能量，而是成本。那么问题的各个元素，包括约束条件，将具有经济解释。你可以将这个跳板曲线想象成一家公司收购了一家医院，并将稳定就业的政策改为缩减员工的政策所产生的效果。（此时自变量$x$是时间，$y$表示员工的规模。）如何以最低成本执行这一政策？假设其成本泛函由与跳板泛函中相同的元素构成：工资，与$y$成正比，以及由大幅裁员引起的管理混乱、罢工等成本，模型化为与$\left(y^{\prime \prime}\right)^2$成正比。具有自然边界条件的解将表示在一段时间结束时的理想情况（当然是从公司的角度来看，而不是从患者的角度）。如果政府监管机构强加了一个约束，规定了在该时点员工数量必须达到的水平，那么该约束自然会与一个价格相关联：即公司为了说服监管机构将强加的配额减少一个单位而愿意支付的价值。在优化课程中，通过线性规划，你已经遇到了价格是与约束相关的对偶变量的概念，而这是这一概念的另一个例子。