§5 物理和几何中更多的例子

到目前为止，我们还没有利用施加完整约束的新自由度。

在初步动力学中研究的一个典型问题是粒子在旋转曲面上平滑移动，例如抛物面$a z=x^2+y^2$。让我们从Hamilton原理推导出运动方程。

例 12（在抛物面上的运动） 在任意时刻，粒子的位置可以表示为$(\sqrt{a z} \cos \theta, \sqrt{a z} \sin \theta, z)$。也就是说，我们利用了由光滑表面提供的完整约束，消除了三个空间维度中的一个，将空间简化为二维。在这里，我们使用$z, \theta$作为两个必要的$q_i$，但原则上我们可以使用任何我们喜欢的坐标。不过，选择角度$\theta$作为两个坐标之一是个好主意，因为这样一来，它在$L$中是可忽略的，从而产生一个简单的第一积分。具体来说，$$L=T-V=\frac{1}{2}\left(\left(1+\frac{a}{4 z}\right) \dot{z}^2+a z \dot{\theta}^2\right)-g z$$而$\theta$是可忽略的这一事实意味着$\dot{\theta}=h / z$，其中$h$是某个常数。由于$L$对$t$没有显式依赖，并且它在速度上是二次的，这意味着$T+V$是守恒的。因此，在初步处理中的所有结果都可以立即推导出来，而无需通过点乘和楔积向量来消除反作用力。

例 13（旋转铁丝上的粒子） 一个粒子沿着与竖直方向成角度$\beta$的直线铁丝平滑移动，并以恒定角速度$\omega$绕竖直轴旋转。

在初步动力学中，直接从Newton第二定律出发，需要通过将Newton第二定律与一个切向铁丝的向量点乘来消除法向反作用力。使用Hamilton原理，我们可以忽略法向反作用力，直接求解Lagrange量$L=T-V$。相对于惯性系，粒子的位置为$$\mathbf{x}=(z \tan \beta \cos \omega t, z \tan \beta \sin \omega t, z)$$粒子的质量无关紧要，可以设为1，因此粒子的动能和势能为

$$T=\dfrac{1}{2}|\dot{\mathbf{x}}|^{2}=\dfrac{1}{2}[(z\omega\tan\beta)^{2}+(\dot{z}\sec\beta)^{2}],\quad V=gz$$

这里只有一个广义坐标$z$，因此只有一个Euler-Lagrange方程。这样立即得到了运动方程：$$\ddot{z}-\omega^2 \sin ^2 \beta z=-g \cos ^2 \beta。$$这正是问题中要求的方程。该问题还需讨论$E=T+V$是否守恒，实际上并不守恒。为了保持铁丝以恒定角速度$\omega$旋转，必须施加扭矩，因此必须做功。

Lagrange方法做得更好。它构建了一个守恒的Hamilton量$H$，但该Hamilton量并不等于总能量，

$$H=\dot{z}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{z}}-L=\dfrac{1}{2}[(\dot{z}\sec\beta)^{2}-(z\omega\tan\beta)^{2}]+gz$$

Hamilton量与$T+V$不同，因为$T$不是速度的齐次二次多项式。动能$T$既包含来自$z^2$的贡献，也包含来自$\dot{z}^2$的贡献。

现在我们可以自由考虑更一般的问题，这些问题使用初步动力学方法可能难以解决。

例 14（在无外力作用下的一般曲面上的运动） 假设我们有一个粒子在嵌入三维空间的一个相当一般的曲面上运动。（在接下来的讨论中，我们将假设粒子始终与曲面接触这一约束，而不担心如何在物理上实现粒子永远不失去接触的情况。你可以想象一个外表面为双层的航天器；粒子在这两层之间运动，因此法向反作用力可以指向内侧或外侧。）

Hamilton原理立即为这种运动提供了一个Lagrange量：它只是受约束在曲面上运动的动能$T$。具体来说，假设曲面由$(u, v)$参数化，因此其点由$\mathbf{x}(u, v)=$ $(x(u, v), y(u, v), z(u, v))$指定。然后将$L$写成$(u, v)$坐标的形式，我们有：$$L=T=\frac{m}{2}\left(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2\right)=\frac{m}{2}\left(E(u, v) \dot{u}^2+2 F(u, v) \dot{u} \dot{v}+G(u, v) \dot{v}^2\right)$$其中$$E(u, v)=\mathbf{x}_u \cdot \mathbf{x}_u, F(u, v)=\mathbf{x}_u \cdot \mathbf{x}_v, G(u, v)=\mathbf{x}_v \cdot \mathbf{x}_v$$现在我们可以写出Euler-Lagrange方程，从而原则上确定整个运动。一般来说，这些关于$u$和$v$的二阶微分方程不易解，但简化的一点是粒子所走的路径是曲面上的测地线——弧长的稳定值。

为了证明这一点，首先注意到纯“动能”形式的Lagrange量（即速度$\dot{q}_i$的二次方，且不显式依赖于$t$）具有一个特殊属性：根据Beltrami恒等式，$L$的值本身是运动的一个常数。

动能也是正定的。假设$f$是正实数上的某个严格递增函数，并考虑$f(L)$的稳定值问题。Euler-Lagrange方程将是$$\begin{gathered}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \frac{\partial f(L)}{\partial \dot{q}_i}-\frac{\partial f(L)}{\partial q_i}=0 \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(f^{\prime}(L) \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right)-f^{\prime}(L) \frac{\partial L}{\partial q_i}=0 \\ f^{\prime \prime}(L) \frac{\mathrm{d} L}{\mathrm{~d} t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}+f^{\prime}(L)\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}-\frac{\partial L}{\partial q_i}\right)=0\end{gathered}$$但由于$\mathrm{d} L / \mathrm{d} t=0$且$f^{\prime}(L) \neq 0$，这简化为$L$的Euler-Lagrange方程。

取$f(L)$为$\sqrt{L}$告诉我们$$\int \sqrt{E(u, v) \dot{u}^2+2 F(u, v) \dot{u} \dot{v}+G(u, v) \dot{v}^2} \mathrm{~d} t$$产生了相同的Euler-Lagrange方程。而这正是曲面上轨迹的弧长，在测地线上弧长是稳定的。

如果我们希望，我们可以消除时间变量$t$，将积分写为$$\int \sqrt{E(u, v)+2 F(u, v) v_u+G(u, v) v_u^2} \mathrm{~d} u$$此时，$v=v(u)$被认为定义了曲面上的曲线。这与我们之前研究的形式相同。

因此，在没有外力的情况下，粒子仅仅沿着符合几何约束的最短路径（至少在局部最小的意义上）运动。在这种情况下，最小作用量实际上与最短距离重合。这是对Newton第二定律的推广。

§5.1 更多短程线

例 15（圆柱面） 假设曲面为半径为1、轴沿着$z$轴的圆柱面。其参数化方程为$$\mathbf{x}(u, v)=(\cos u, \sin u, v)$$我们计算得出$\mathbf{x}_u=(-\sin u, \cos u, 0)$, $\mathbf{x} _{v}=(0,0,1)$，因此$E=G=1$, $F=0$。Lagrange量就是动能，$$L(u, v, \dot{u}, \dot{v})=\frac{1}{2}\left(\dot{u}^2+\dot{v}^2\right)$$所以短程线由以下方程给出$$\ddot{u}=\ddot{v}=0。$$这些在$(u, v)$坐标系中是直线。同样，通过寻找作为弧长稳定曲线的短程线也可以得出相同的结论。上述方法给出$v _{uu}=0$，即短程线的方程为$v=a u+b$。（注意，圆柱面上的路径清楚地说明了路径长度的局部最小值与全局最小值完全不同。）

为什么这如此简单？关键在于，尽管圆柱面在$\mathbb{R}^3$中被视为一个曲面，但它实际上本质上是平的，这一点直观上很明显：该曲面可以在不拉伸的情况下展开，并铺展在欧几里得平面上。正确的术语是，它与平面是等距的。在这种等距映射下，短程线保持不变，因为它们是本质定义的。

值得注意的是，短程线的概念在曲面上要比此处讨论的更为广泛。我们无需将曲面限制为嵌入在三维空间中的曲面。度量可以抽象地给出（实际上我们在开篇讲座中用“速度”函数做了类似的事情）。此外，也不需要仅关注曲面上的短程线；我们同样可以研究任意维度空间中的短程线。

在物理学中，这一概念在Einstein广义相对论的发展中起到了极为重要的作用。在广义相对论中，重力成为四维时空几何的一部分，而不是一种力，自由落体（包括光线）的轨迹必须是结果空间中的短程线；四维空间并不被视为嵌入在更大空间中的东西。

在纯数学中，短程线的研究是几何学的一个重要组成部分，你可以在课程“曲面几何”中进一步深入研究这一内容。