物理

来自故乡的循水

这是上次新年活动拍的

至于用哪个快递送的我也不清楚

我只知道送来时还送了一个“少年的远方”包装来

就是质心寄材料时寄的那个

你指的是哪个？

我说是物流是哪个快递

我的隐藏盲盒啊😭

好像大多数拍主都已经收到了

等等吧5汉佬

我现在已经要等疯了

一个个都收到了

😭😭😭

佬在吗@5汉爱学习

我想进论坛资料室🤓

求求了

${}$

$\{\}$

${f}$

$ \left( \sum_{i=1}^n a_i b_i \right)^2 \leq \left( \sum_{i=1}^n a_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^n b_i^2 \right)$

 $a_1, a_2, \dots, a_n$，有$ \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 \dots a_n}$

$a_1 \leq a_2 \leq \dots \leq a_n$ 且 $b_1 \leq b_2 \leq \dots \leq b_n$，则$\sum_{i=1}^n a_i b_{n-i+1} \leq \sum_{i=1}^n a_i b_{\sigma(i)} \leq \sum_{i=1}^n a_i b_i $ 其中 $\sigma$ 为任意排列。

$ J[q] = \int_{t_1}^{t_2} L(q, \dot{q}, t) \, dt $

$L(q(t))$

$S[q(t)]$

$J = \left. \frac{d}{d\epsilon} J[q + \epsilon \eta] \right|_{\epsilon=0} = \int_{t_1}^{t_2} \left( \frac{\partial L}{\partial q} \eta + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \dot{\eta} \right) dt$.

$ \eta(t_1) = \eta(t_2) = 0 $：   $ \int_{t_1}^{t_2} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \dot{\eta} \, dt = \left. \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \eta \right|_{t_1}^{t_2} - \int_{t_1}^{t_2} \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) \eta \, dt.$

泛函的变分为：   $   \delta J = \left. \frac{d}{d\epsilon} J[q + \epsilon \eta] \right|_{\epsilon=0} = \int_{t_1}^{t_2} \left( \frac{\partial L}{\partial q} \eta + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \dot{\eta} \right) dt$.

变分简化为：   $ \delta J = \int_{t_1}^{t_2} \left[ \frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) \right] \eta(t) \, dt.   $

   $  \frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) = 0.   $

  $   \delta J = \left. \frac{d}{d\epsilon} J[q + \epsilon \eta] \right|_{\epsilon=0} = \int_{t_1}^{t_2} \left( \frac{\partial L}{\partial q} \eta + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \dot{\eta} \right) dt$.

  $ \left. \frac{d}{d\epsilon} J[q + \epsilon \eta] \right|_{\epsilon=0} = \int_{t_1}^{t_2} \left( \frac{\partial L}{\partial q} \eta + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \dot{\eta} \right) dt$.

  $   \delta J = \left \frac{d}{d\epsilon} J[q + \epsilon \eta] \right|_{\epsilon=0} = \int_{t_1}^{t_2} \left( \frac{\partial L}{\partial q} \eta + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \dot{\eta} \right) dt$

$ \left. \frac{d}{d\epsilon} J[q + \epsilon \eta] \right|_{\epsilon=0} = \int_{t_1}^{t_2} \left( \frac{\partial L}{\partial q} \eta + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \dot{\eta} \right) ,dt$.

假设函数 $ q(t) $使泛函 $ J[q] $取得极值，考虑对其施加微小扰动 $ \delta q(t) $，并要求变分 $ \delta J = 0 $。

1. 变分的计算   引入扰动 $ q(t) \to q(t) + \epsilon \eta(t) $，其中 $ \eta(t) $ 是满足 $ \eta(t_1) = \eta(t_2) = 0 $的任意函数，$ \epsilon $为小参数。泛函的变分为：   $   \delta$ J =$ \left.  \frac{d}{d\epsilon} J[q + \epsilon \eta] \right|_{\epsilon=0} = \int_{t_1}^{t_2} \left( \frac{\partial L}{\partial q} \eta + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \dot{\eta} \right) dt$.

$\delta J = \left. \frac{d}{d\epsilon} J[q + \epsilon \eta] \right|_{\epsilon=0} = \int_{t_1}^{t_2} \left( \frac{\partial L}{\partial q} \eta + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \dot{\eta} \right) dt.$

欧拉-拉格朗日方程（Euler-Lagrange Equation）是变分法中的核心方程，用于求解泛函的极值函数。它在物理学（如经典力学、场论）和工程学中具有广泛应用，尤其是从最小作用量原理推导系统的运动方程。以下从背景、推导、物理意义和应用进行详细介绍。

 一、问题背景：变分法与泛函极值泛函（Functional）是函数的函数，即输入为函数，输出为实数。例如，力学中的作用量S[q(t)]是路径 $ q(t) $ 的泛函。

目标：找到使泛函 $ J[q] = \int_{t_1}^{t_2} L(q, \dot{q}, t) \, dt $ 取极值的函数 $q(t)$，其中 $ L$ 为被积函数（拉格朗日量），$\dot{q} = dq/dt $。

二、欧拉-拉格朗日方程的推导

假设函数 $ q(t) $使泛函 $ J[q] $取得极值，考虑对其施加微小扰动 $ \delta q(t) $，并要求变分 $ \delta J = 0 $。

1. 变分的计算   引入扰动 $ q(t) \to q(t) + \epsilon \eta(t) $，其中 $ \eta(t) $ 是满足 $ \eta(t_1) = \eta(t_2) = 0 $的任意函数，$ \epsilon $为小参数。泛函的变分为：   $   \delta J = \left. \frac{d}{d\epsilon} J[q + \epsilon \eta] \right|_{\epsilon=0} = \int_{t_1}^{t_2} \left( \frac{\partial L}{\partial q} \eta + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \dot{\eta} \right) dt.$.

欧拉-拉格朗日方程（Euler-Lagrange Equation）是变分法中的核心方程，用于求解泛函的极值函数。它在物理学（如经典力学、场论）和工程学中具有广泛应用，尤其是从最小作用量原理推导系统的运动方程。以下从背景、推导、物理意义和应用进行详细介绍。

 一、问题背景：变分法与泛函极值泛函（Functional）是函数的函数，即输入为函数，输出为实数。例如，力学中的作用量S[q(t)]是路径 $ q(t) $ 的泛函。

目标：找到使泛函 $ J[q] = \int_{t_1}^{t_2} L(q, \dot{q}, t) \, dt $ 取极值的函数 $q(t)$，其中 $ L$ 为被积函数（拉格朗日量），$\dot{q} = dq/dt $。

二、欧拉-拉格朗日方程的推导

假设函数 $ q(t) $使泛函 $ J[q] $取得极值，考虑对其施加微小扰动 $ \delta q(t) $，并要求变分 $ \delta J = 0 $。

1. 变分的计算   引入扰动 $ q(t) \to q(t) + \epsilon \eta(t) $，其中 $ \eta(t) $ 是满足 $ \eta(t_1) = \eta(t_2) = 0 $的任意函数，$ \epsilon $为小参数。泛函的变分为：   $   \delta J = \left. \frac{d}{d\epsilon} J[q + \epsilon \eta] \right|_{\epsilon=0} = \int_{t_1}^{t_2} \left( \frac{\partial L}{\partial q} \eta + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \dot{\eta} \right) dt.$.

1. 变分的计算   引入扰动 $ q(t) \to q(t) + \epsilon \eta(t) $，其中 $ \eta(t) $ 是满足 $ \eta(t_1) = \eta(t_2) = 0 $的任意函数，$ \epsilon $为小参数。泛函的变分为：δ J = $ \frac{d}{d\epsilon} J[q + \epsilon \eta] |_{\epsilon=0} = \int_{t_1}^{t_2} \left( \frac{\partial L}{\partial q} \eta + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \dot{\eta} \right) dt.$.

   $ \int_{t_1}^{t_2} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \dot{\eta} \, dt = \left. \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \eta \right|_{t_1}^{t_2} - \int_{t_1}^{t_2} \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) \eta \, dt.   $ 

    δJ =$ \int_{t_1}^{t_2} \left[ \frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) \right] \eta(t) \, dt.   $

   $  \frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) = 0.   $  

全是学术帖赚来的🤔

额…

好吧。

感谢提醒

直线与圆锥曲线相交：直线与圆锥曲线有交点，我们称直线与圆锥曲线相交。