物理 来自故乡的循水
置顶：我们学校高考告捷，望周知🗨️
以后几周工作日晚上9点半左右上线
11点左右下线
直到暑假
自介条～（已更新（可交友）
真冷淡
《枫》
乌云在我们心里刻下一块阴影
我聆听沉寂已久的心情
清晰透明 就像美丽的风景
总在回忆里才看得清
被伤透的心能不能够继续爱我
我用力牵起没温度的双手
过往温柔 已经被时间上锁
只剩挥散不去的难过
缓缓飘落的枫叶像思念
我点燃烛火温暖岁末的秋天
极光掠夺天边
北风掠过想你的容颜
我把爱烧成了落叶
却换不回熟悉的那张脸
缓缓飘落的枫叶像思念
为何挽回要赶在冬天来之前
爱你穿越时间
两行来自秋末的眼泪
让爱渗透了地面
我要的只是你在我身边
《明明就》
糖果罐里好多颜色
微笑却不甜了
你的某些快乐
在没有我的时刻
中古世纪的城市里
我想就走到这
海鸥不再眷恋大海
可以飞更远
远方传来风笛
我只在意有你的消息
城堡为爱守着秘密
而我为你守着回忆
明明就不习惯牵手
为何却主动把手勾
你的心事太多
我不会戳破
明明就他比较温柔
也许他能给你更多
不用抉择
我会自动变朋友
《退后》
天空灰得像哭过
离开你以后 并没有更自由
酸酸的空气 嗅出我们的距离
一幕锥心的结局
像呼吸般无法停息
抽屉泛黄的日记
榨干了回忆 那笑容是夏季
你我的过去 被顺时针地忘记
缺氧过后的爱情
粗心的眼泪是多余
我知道你我都没有错
只是忘了怎么退后
信誓旦旦给了承诺
却被时间扑了空
我知道我们都没有错
只是放手会比较好过
最美的爱情 回忆里待续
明月正在照耀着你
- 1
${}$
$\{\}$
${f}$
$ \left( \sum_{i=1}^n a_i b_i \right)^2 \leq \left( \sum_{i=1}^n a_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^n b_i^2 \right)$
$a_1, a_2, \dots, a_n$，有$ \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 \dots a_n}$
$a_1 \leq a_2 \leq \dots \leq a_n$ 且 $b_1 \leq b_2 \leq \dots \leq b_n$，则$\sum_{i=1}^n a_i b_{n-i+1} \leq \sum_{i=1}^n a_i b_{\sigma(i)} \leq \sum_{i=1}^n a_i b_i $ 其中 $\sigma$ 为任意排列。
$ J[q] = \int_{t_1}^{t_2} L(q, \dot{q}, t) \, dt $
$L(q(t))$
$S[q(t)]$
$J = \left. \frac{d}{d\epsilon} J[q + \epsilon \eta] \right|_{\epsilon=0} = \int_{t_1}^{t_2} \left( \frac{\partial L}{\partial q} \eta + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \dot{\eta} \right) dt$.
$ \eta(t_1) = \eta(t_2) = 0 $： $ \int_{t_1}^{t_2} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \dot{\eta} \, dt = \left. \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \eta \right|_{t_1}^{t_2} - \int_{t_1}^{t_2} \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) \eta \, dt.$
泛函的变分为： $ \delta J = \left. \frac{d}{d\epsilon} J[q + \epsilon \eta] \right|_{\epsilon=0} = \int_{t_1}^{t_2} \left( \frac{\partial L}{\partial q} \eta + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \dot{\eta} \right) dt$.
变分简化为： $ \delta J = \int_{t_1}^{t_2} \left[ \frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) \right] \eta(t) \, dt. $
$ \frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) = 0. $
$ \delta J = \left. \frac{d}{d\epsilon} J[q + \epsilon \eta] \right|_{\epsilon=0} = \int_{t_1}^{t_2} \left( \frac{\partial L}{\partial q} \eta + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \dot{\eta} \right) dt$.
$ \left. \frac{d}{d\epsilon} J[q + \epsilon \eta] \right|_{\epsilon=0} = \int_{t_1}^{t_2} \left( \frac{\partial L}{\partial q} \eta + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \dot{\eta} \right) dt$.
$ \delta J = \left \frac{d}{d\epsilon} J[q + \epsilon \eta] \right|_{\epsilon=0} = \int_{t_1}^{t_2} \left( \frac{\partial L}{\partial q} \eta + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \dot{\eta} \right) dt$
$ \left. \frac{d}{d\epsilon} J[q + \epsilon \eta] \right|_{\epsilon=0} = \int_{t_1}^{t_2} \left( \frac{\partial L}{\partial q} \eta + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \dot{\eta} \right) ,dt$.
假设函数 $ q(t) $使泛函 $ J[q] $取得极值，考虑对其施加微小扰动 $ \delta q(t) $，并要求变分 $ \delta J = 0 $。
1. 变分的计算 引入扰动 $ q(t) \to q(t) + \epsilon \eta(t) $，其中 $ \eta(t) $ 是满足 $ \eta(t_1) = \eta(t_2) = 0 $的任意函数，$ \epsilon $为小参数。泛函的变分为： $ \delta$ J =$ \left. \frac{d}{d\epsilon} J[q + \epsilon \eta] \right|_{\epsilon=0} = \int_{t_1}^{t_2} \left( \frac{\partial L}{\partial q} \eta + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \dot{\eta} \right) dt$.
$\delta J = \left. \frac{d}{d\epsilon} J[q + \epsilon \eta] \right|_{\epsilon=0} = \int_{t_1}^{t_2} \left( \frac{\partial L}{\partial q} \eta + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \dot{\eta} \right) dt.$
欧拉-拉格朗日方程（Euler-Lagrange Equation）是变分法中的核心方程，用于求解泛函的极值函数。它在物理学（如经典力学、场论）和工程学中具有广泛应用，尤其是从最小作用量原理推导系统的运动方程。以下从背景、推导、物理意义和应用进行详细介绍。
一、问题背景：变分法与泛函极值泛函（Functional）是函数的函数，即输入为函数，输出为实数。例如，力学中的作用量S[q(t)]是路径 $ q(t) $ 的泛函。
目标：找到使泛函 $ J[q] = \int_{t_1}^{t_2} L(q, \dot{q}, t) \, dt $ 取极值的函数 $q(t)$，其中 $ L$ 为被积函数（拉格朗日量），$\dot{q} = dq/dt $。
二、欧拉-拉格朗日方程的推导
假设函数 $ q(t) $使泛函 $ J[q] $取得极值，考虑对其施加微小扰动 $ \delta q(t) $，并要求变分 $ \delta J = 0 $。
1. 变分的计算 引入扰动 $ q(t) \to q(t) + \epsilon \eta(t) $，其中 $ \eta(t) $ 是满足 $ \eta(t_1) = \eta(t_2) = 0 $的任意函数，$ \epsilon $为小参数。泛函的变分为： $ \delta J = \left. \frac{d}{d\epsilon} J[q + \epsilon \eta] \right|_{\epsilon=0} = \int_{t_1}^{t_2} \left( \frac{\partial L}{\partial q} \eta + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \dot{\eta} \right) dt.$.
欧拉-拉格朗日方程（Euler-Lagrange Equation）是变分法中的核心方程，用于求解泛函的极值函数。它在物理学（如经典力学、场论）和工程学中具有广泛应用，尤其是从最小作用量原理推导系统的运动方程。以下从背景、推导、物理意义和应用进行详细介绍。
一、问题背景：变分法与泛函极值泛函（Functional）是函数的函数，即输入为函数，输出为实数。例如，力学中的作用量S[q(t)]是路径 $ q(t) $ 的泛函。
目标：找到使泛函 $ J[q] = \int_{t_1}^{t_2} L(q, \dot{q}, t) \, dt $ 取极值的函数 $q(t)$，其中 $ L$ 为被积函数（拉格朗日量），$\dot{q} = dq/dt $。
二、欧拉-拉格朗日方程的推导
假设函数 $ q(t) $使泛函 $ J[q] $取得极值，考虑对其施加微小扰动 $ \delta q(t) $，并要求变分 $ \delta J = 0 $。
1. 变分的计算 引入扰动 $ q(t) \to q(t) + \epsilon \eta(t) $，其中 $ \eta(t) $ 是满足 $ \eta(t_1) = \eta(t_2) = 0 $的任意函数，$ \epsilon $为小参数。泛函的变分为： $ \delta J = \left. \frac{d}{d\epsilon} J[q + \epsilon \eta] \right|_{\epsilon=0} = \int_{t_1}^{t_2} \left( \frac{\partial L}{\partial q} \eta + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \dot{\eta} \right) dt.$.
1. 变分的计算 引入扰动 $ q(t) \to q(t) + \epsilon \eta(t) $，其中 $ \eta(t) $ 是满足 $ \eta(t_1) = \eta(t_2) = 0 $的任意函数，$ \epsilon $为小参数。泛函的变分为：δ J = $ \frac{d}{d\epsilon} J[q + \epsilon \eta] |_{\epsilon=0} = \int_{t_1}^{t_2} \left( \frac{\partial L}{\partial q} \eta + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \dot{\eta} \right) dt.$.
$ \int_{t_1}^{t_2} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \dot{\eta} \, dt = \left. \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \eta \right|_{t_1}^{t_2} - \int_{t_1}^{t_2} \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) \eta \, dt. $
δJ =$ \int_{t_1}^{t_2} \left[ \frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) \right] \eta(t) \, dt. $
$ \frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) = 0. $
