数学 抽象代数——群的定义
考虑某个对象 $X$ 。
通常来说，我们对于这个对象 $X$ 会有一些关于结构的前置印象 (形状，距离，线性等等，比如说圆、三角、方块儿，再比如说度量，抑或是向量空间$V$等等) 。
$X$ 的一个对称性应该是一个映射(为什么是一个从 $X$ 到 $X$ 的映射呢? 因为我们是对 $X$ 进行了变换操作，而 $X$ 本身并没变)$$\phi: X \rightarrow X$$
满足
- 保持结构，比如 $\operatorname{dist}(x, y)=\operatorname{dist}(\phi(x), \phi(y))$ ，再比如 $\phi(x+y)=\phi(x)+\phi(y)$ ，并且
- 可以撤销这一操作。
现在，我们首先来尝试一般性地瞅瞅这玩意儿咋回事，以给我们一点启发:
令 $G={\phi}$ 是 $X$ 的对称性的集合。
- 如果 $\phi_1, \phi_2$ 保持结构，则它们的复合 $\phi_1 \circ \phi_2, \phi_2 \circ \phi_1$ 也保持。 $\Rightarrow$ 我们可以分解 $G$ 的元素 $\Rightarrow$ $G \times G \xrightarrow{m} G$ ，结合性；
- “什么都不做”应该也是 $X$ 的一个对称性。 $\Rightarrow \mathrm{id}_X \in G ， \operatorname{id}_X \circ \phi=\phi \circ \mathrm{id}_X=\phi$;
- 因为 $\phi$ 可以撤销，我们应该有 $\phi^{-1} \in G$ ，所以 $\phi \circ \phi^{-1}=\mathrm{id}_X$， $\phi^{-1} \circ \phi=\mathrm{id}_X$ 。
这样通过最一般的映射来看是不是群的定义马上就呼之欲出呢?
定义 一个群 (group) 是一个有序对$$(G, m)$$其中 $G$ 是一个集合，而 $m$ 是一个映射$$\begin{aligned}& G \times G \rightarrow G \\& \begin{aligned}\left(g_1, g_2\right) \mapsto m\left(g_1, g_2\right) & =: g_1 \cdot g_2 \\& =: g_1 g_2\end{aligned}\end{aligned}$$使得
$m$ 满足结合律，i.e.$$m\left(m\left(g_1, g_2\right), g_3\right)=m\left(g_1, m\left(g_2, g_3\right)\right)$$i.e. $\left(g_1 \cdot g_2\right) \cdot g_3=g_1 \cdot\left(g_2 \cdot g_3\right)$ 或 $\left(g_1 g_2\right) g_3=g_1\left(g_2 g_3\right)$ ；
$\exists$一个元素$1_G \in G$ ，称为恒元(identity)，使得$$m\left(1_G, g\right)=g=m\left(g, 1_G\right)$$i.e. $1_G \cdot g=g=g \cdot 1_G$ 或 $1_G g=g=g 1_G$ ；
$\forall g \in G ， \exists$ 元素 $h \in G$ 使得$$m(g, h)=1_G=m(h, g)$$i.e. $g \cdot h=1_G=h \cdot g$ 或 $g h=1_G=h g$ ，我们经常记 $g^{-1}:=h$ ，称为 " $g$ 的逆 (inverse)" 。
