物理

[论坛资料室]重构数学 第一期——皮亚诺公理

好的，新系列！

这个系列主要就是从皮亚诺公理出发，一步步证明加法、乘法、大于、小于的严谨性，从自然数开始重构数学

但这个系列有一点不一样，我会埋藏一些小问题在正文中，用“(为什么)”来标注，这是我在读原书(资料来源：《初等数论》)的时候得到的一些问题，当然现在已经解决，也希望得到你们的思考。

还有，这个系列会加入我更多的思考，希望能够和你们有一点共振吧！

好的，现在开始第一期：

首先，大家都学过数学，那么我问你，数学是什么？

数学，顾名思义，学“数”

那么“数”又是什么？

这是何等若芷的问题，不就是复数，复数里面又有实数，实数里面又有有理数，有理数里面又有整数，整数里面又有自然数，并且自然数又可以通过一些简单的运算一步步倒着扩展，形成整数有理数之类的(为什么)

综上，“数”就可以归纳为自然数

那么“自然数”又是什么？

你想，这个问题如果得不到解决，那么数学学数又有什么意义呢？

所以，天空一声巨响，皮亚诺公理闪亮登场。

Peano公理：

设N是一个非空集合，满足以下条件：

(i)对每个元素$n\in N$，N中一定有唯一的元素，与之对应，这个元素记作$n^+$，称为n的后继元素(简称后继)

(ii)有元素$e\in N$，它不是N中任一元素的后继

(iii)N中的任一元素至多是一个元素的后继，即从$a^+ =b^+$一定可推出$a=b$

(iv)(归纳公理)设S是N的一个子集合，如果$n\in S$，必有$n^+ \in S$，那么$S=N$

好的，然后我们再来证三个定理来操练一下我们刚了解到的公理：

定理1：

对于任意的$n\in N$，有$n\ne n^+$

证明：

设N中所有使$n\ne n^+$成立的元素n组成的子集记作S

由公理(ii)可知$e\ne e^+$，从而S非空

若$n\in S$，则$n\ne n^+$，我们来证明必有$n^+ \in S$

若不然，则有$n^+ =(n^+)^+$

由此及公理(iii)推出$n=n^+$，矛盾

因此，由归纳公理推出$S=N$，证毕