物理

调和点列与调和线束之性质

引入

    角平分线（Angular bisector）是我们接触三角形时刚开始学的角相关特殊线段之一

作为课标必学的知识点，它通俗易懂但又变化莫测，性质简单却又无比的重要，

通过它所引出的知识点，定理，例题，模型数不胜数，无论是中考，自招都有它的一席之地。

对于大部分的课内学生，对于它的了解更多便是角平分线的性质

     角平分线的性质：

角平分线上的任意一点，到所成该角的两条射线的距离相等。

由此可以带来垂直，等腰balala等条件，这一点课内的老师讲的已经很清楚了

但不接触竞赛或并没有课外拓展知识点的学生，大部分都不知道还有一个角平分线定理的存在

      角平分线定理：

在$△ABC$中(见图)，若AD是$∠A$的内角平分线，AE是$∠A$的外角平分线，则

     $\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}$①，$\dfrac{BE}{EC}=\dfrac{AB}{BC}$②

该定理的证明方法很多，最常用的便是面积法（利用角平分线的性质）

眼尖的同学可以发现，由①②式可得$\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{BE}{EC}$

这个式子有种对称的美感，点D和点E内外分线段BC的比相等，如果他们不是共线的，将可能会有很多美妙的事情:相似，平行……

然而，这个式子，是一扇金碧辉煌的大门，也像是一个精心谋划的陷阱。

因为它的背后，藏着我们今天真正的主题一一一调和点列（Harmonic columns）

一般的，若点D，点E内分外分线段BC所成的比相等，即我们所得的那个式子，则称点D点E调和分割线段BC

称B，D，C，E为调和点列，AB，AD，AC，AE为调和线束

我们熟练掌握的这个简单定理背后，竟隐藏了一个进入竞赛的小门。

门里的世界，等待我们探索。