物理

[论坛资料室]进来吃爆米花

       之前一连发了几个题目，又是数学分析又是偏微分方程的，现在饿了，找Lebesgue整点爆米花吃。

       爆米花函数（Thomae's function）的定义如下：

       我们的目标是计算这个函数在$[0,1]$，也就是全定义域上的积分。

       容易证明这个函数不是Riemann可积的（同学们可以自己证一下）。那么我们就计算它的Lebesgue积分。

       根据Lebesgue积分的定义

$$\int f\,d\mu=\sup\left\{\int s^+\,d\mu\mid 0\le s^+\le f^+\right\}+\sup\left\{\int s^-\,d\mu\mid 0\le s^-\le f^-\right\}$$

（定义中$0$是零函数）

       既然我们要计算这个函数在区间$[0,1]$上的Lebesgue积分，我们可以构造一系列简单函数$\{f_n\}$来逼近$r(x)$ 。

       定义集合$E\{n,k\}$如下：

$$E\{n,k\}=\left\{x\in[0,1]\mid r(x)\geq\frac{1}{k}\,\text{and}\, x=\frac{p}{q},q\leq n\right\}$$

然后定义简单函数$f_n(x)$如下：

       可以证明$f_n(x)\leq f(x)$对所有$x\in[0,1]$成立，并且$\lim_{n\to\infty}f_n(x)=r(x)$几乎处处成立（除了一个Lebsgue测度为0的集合，也就是有理数集，因为有理数集是可数集，$\text{card}(\mathbb{Q})=\aleph_0$，其Lebesgue测度为0）。

       接下来，我们计算简单函数$f_n$的Lebesgue积分：

$$\int_{[0,1]}f_n(x)\,d\mu=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\mu(E\{n,k\})$$

集合$E\{n,k\}$中的元素是有限的（因为满足$q\leq n$且在$[0,1]$内的有理数$\frac{p}{q}$是有限个），所以$\mu(E\{n,k\})=0$（这里的$\mu$是Lebesgue测度）。因此，

$$\int_{[0,1]}f_n(x)\,d\mu=0$$

对所有$n$成立。

       根据Lebesgue控制收敛定理，因为$|f_n(x)|\leq r(x)$且$r(x)$在$[0,1]$上Lebesgue可积（后面会说明原因），并且$\lim_{n\to\infty}f_n(x)=r(x)$几乎处处成立，我们有：

$$\int_{[0,1]}r(x)\,d\mu=\lim_{n\to\infty}\int_{[0,1]}f_n(x)\,d\mu=0$$

       到这里其实我们的Lebesgue积分已经算完了。但是我们前面还落了一个证明爆米花函数的Lebesgue可积性。所以现在补一下。要证明$r(x)$在$[0,1]$上Lebesgue可积，我们可以根据Lebsgue可积的判别准则，即一个函数$f$是勒贝格可积的当且仅当

并且

其中$f^{+}(x)=\max\{f(x),0\}$，$f^{-}(x)=\max\{-f(x),0\}$，就是开头提到的Lebesgue积分定义中的函数的正部分和函数的负部分。

       对于爆米花函数$r(x)$，$r^{+}(x)=r(x)$（因为$r(x)\geq 0$），并且我们已经证明了

而$r^{-}(x)=0$，所以

       所以爆米花函数在定义域上严格Lebesgue可积。

       现在这个积分就算彻底计算完了，爆米花函数$r(x)$在区间$[0,1]$上的Lebesgue积分值为0。

       Lebesgue给的爆米花真香。