数学

可能值个数探究

求$S_n=\sum_{i=1}^n\dfrac{丨a_i丨}{a_i}+\prod_{i=1}^n\dfrac{丨a_i丨}{a_i}$的可能值个数$A_n$

对于每一个$\dfrac{丨a_i丨}{a_i}，(1\leqslant i\leqslant n)$

仅有两个可能值$1$或$-1$，而共有$n+1$个数

则按照$-1$的个数进行无顺序组合，$1$和$-1$的组合情况个数共有$n+1$种

若$n≡1(mod2)$，，这必然有从$a_1$到$a_n$以及$\prod_{i=1}^n\dfrac{丨a_i丨}{a_i}$全为1或全为-1的情况

除去这2种情况，还剩$n-1$种排列

按(如图所示)-1的个数依次排列

选取第$t$组和第$t+1$组研究

第$t+1$组中有$t$个-1，$\prod_{i=1}^n\dfrac{丨a_i丨}{a_i}=(-1)^t$

同理第$t+1$组中有$t+1$个-1，$\prod_{i=1}^n\dfrac{丨a_i丨}{a_i}=(-1)^{t+1}$

显然若$t$为奇数，$(-1)^t=-1$，第$t$组中有$t+1$个-1；$(-1)^{t+1}=1$，第$t+1$组中也有$t+1$个-1

$t$为偶数同理。故第$t$组的值为:$(-1)×(t+1)+1×(n+1-t-1)=n-1-2t$

第$t+1$组的值为:$(-1)×(t+1)+1×(n+1-t-1)=n-1-2t$，二者相等。

∴相邻两组的值相等，$n-1$种组合中共有$\dfrac{n-1}{2}$个互不相等的值

∴$A_n=2+\dfrac{n-1}{2}=\dfrac{n+3}{2}$

若$n≡0(mod2)$，同理可得$A_n=1+\dfrac{n+1-1}{2}=\dfrac{n+2}{2}$

∴综上所述:对于正整数n，$A_n=[\dfrac{n+1}{2}]+1$，[ ]为高斯函数

(水，溜一)