物理

[论坛资料室]论贝塞尔函数与诺依曼函数

好，时间到

我们将$x^2\dfrac{\text d^2y}{\text dx^2}+x\dfrac{\text dy}{\text dx}+\begin{pmatrix}x^2-n^2\end{pmatrix}y=0$

称为贝塞尔微分方程，他有一通解为$y=C_1J_n(x)+C_2N_n(x)$

$式中J_n(x)称为n阶第一类贝塞尔函数，N_n(x)称为诺依曼函数（也叫第二类贝塞尔函数）$

容我们先来看看贝塞尔函数吧.....

微分方程常以级数法求解，设贝塞尔方程有一收敛级数解

$y=sum^{\infty}_{k=0}a_kx^{c+k}(a_0≠0，a_k及c为待定常数)$

接下来让我们确定他们吧！

由上式可以得到：$\dfrac{\text y}{\text x}=\sum^{\infty}_{k=0}a_kx^{c+k-1}$

$\dfrac{\text d^2y}{\text dx^2}=\sum^{\infty}_{k=0}(c+k)(c+k-1)a_kx^{c+k_2}$

将两式回代回原方程得

$(c^2-n^2)a_0x^c+[(c+1)^2-n^2]a_1x^{c+1}+\sum^{\infty}_{k=2}\begin{Bmatrix}[c+k]^2-n^2]a_k+a_{k-2}\end{Bmatrix} x^{c+k}=0$