数学

[代数]数列的性质

• 基本性质：单调性、有界性、周期性

• 整数数列有更多性质：离散性、数论性质

• 常见思考角度：递推←→通项

一、单调性+有界性

1. 单调不减（增）的数列有上（下）界 → 数列收敛
2. 单调不减（增）的整数数列有上（下）界 → 数列最终为常数

二、周期性

    1. k阶递推数列若有k项重复出现，则数列最终周期

  推论1. k阶递推+取值情况有限 → 最终周期

  推论2. k阶递推有界整数数列最终周期

  推论3. k阶递推数列模n最终周期（模周期性）

    2. 进一步，若数列可倒推（后k项可唯一决定前一项），则该数列为纯周期数列

三、离散介质原理

整数数列$\left \{ a_k\right \},k=1,2,\cdots n,a_1\le a_n$

若$a_{k+1}-a_k\le 1,k=1,2,\cdots n-1$

则$\left \{ a_k\right \}\left ( k=1,2,\cdots n\right )$可取$a_1$到$a_n$之间所有整数值