物理

[论坛资料室]小柒的数列世界（求数列通项，从新手到大师）

本帖会采用剧情与干货知识点结合的形式，干货知识点占绝对主导地位，来讲解求数列通项的方法

首次尝试，希望大家多多提出建议

灵感来源：小澜《肆柒，已至》，江薇《魔方的第二面》

（更新中）

[剧情]你叫小柒，今年高二。去年，你认识了一个叫小澜的女孩，和她的关系迅速升温，不料被老师发现，你们被迫分手了，悲痛难忍之下，你选择了跳楼自杀……

你睁开眼，发现身处一个陌生的昏暗房间中，六面是墙，没有门。房中有一张桌，一张纸，一支笔。一面墙上写着一道题。你抬头，看见倒数的数字：“9995, 9994, …”

你迅速意识到，要在倒数结束前逃离这该死的地方，而且只能从题目中寻找出路。于是，你开始看题。

[题目1]数列{${a_n}$}满足${a_1=6}$，${a_{n+1}=a_n+7}$（n∈$\mathbb{N}$*），求数列通项。

[解析1]∀n∈$\mathbb{N}$*且n>1，${a_n-a_1=\sum_{i=1}^{n-1}(a_{i+1}-a_i)=7(n-1)}$，${a_n}$=${a_1+7(n-1)=7n-1}$。

对n=1，${a_n=7n-1}$成立，故∀n∈$\mathbb{N}$*，${a_n=7n-1}$。

[答案1]${a_n=7n-1}$

[剧情]这题简单，你想。你把答案写在那面墙上，抱着试试看的心理，推动了那面墙。那堵墙转过半圈，带你进入了下一个房间。

看来你的猜想是正确的。于是你开始处理下一题：

[题目2]数列{${a_n}$}满足${a_1}$=5，${a_{n+1}=2a_n}$（n∈$\mathbb{N}$*），求通项。

[解析2]∀n∈$\mathbb{N}$*且n>1，${a_n-a_1=\prod_{i=1}^{n-1}(\frac{a_{i+1}}{a_i})=2^{n-1}}$，${a_n}$=${5·2^{n-1}}$。

对n=1，${a_n=5·2^{n-1}}$成立，故∀n∈$\mathbb{N}$*，${a_n=5·2^{n-1}}$。

[答案2]${a_n=5·2^{n-1}}$

[剧情]你准备进入下一个房间，但你忽然听到了一些奇怪的响动。那是什么？停留了几秒钟，你忽然想到，头顶上还有倒计时，而你还不知道要再答多少道题才能逃出去。于是你不再理睬，开始做题。

[题目3]数列{${a_n}$}满足${a_1}$=6，${a_{n+1}=a_n+2n+1}$（n∈$\mathbb{N}$*），求通项。

[解析3]∀n∈$\mathbb{N}$*且n>1，${a_n-a_1=\sum_{i=1}^{n-1}(a_{i+1}-a_i)=\sum_{i=1}^{n-1}(2i+1)}$

=${2×\frac{n(n-1)}{2}+(n-1)=n^2-1}$，${a_n}$=${a_1+n^2-1=n^2+5}$。

对n=1，${a_n=n^2+5}$成立，故∀n∈$\mathbb{N}$*，${a_n=n^2+5}$。

[答案3]${a_n=n^2+5}$

[剧情]你抬头看了一眼倒计时，还有9877秒。要么题目数会很多，要么难度会增加，你想。你迅速进入了下一个房间。

[题目4]数列{${a_n}$}满足${a_1}$=1，${a_{n+1}=a_n+2n^2-n+3}$（n∈$\mathbb{N}$*），求通项。

[解析4]∀n∈$\mathbb{N}$*且n>1，${a_n-a_1=\sum_{i=1}^{n-1}(a_{i+1}-a_i)=\sum_{i=1}^{n-1}(2i^2-i+3)}$

=${2×\frac{n(n-1)(2n-1)}{6}-\frac{n(n-1)}{2}+3(n-1)=\frac{2}{3}n^3-\frac{3}{2}n^2+\frac{23}{6}n-3}$，${a_n}$=${\frac{2}{3}n^3-\frac{3}{2}n^2+\frac{23}{6}n-2}$。

对n=1，${a_n}$=${\frac{2}{3}n^3-\frac{3}{2}n^2+\frac{23}{6}n-2}$成立，故∀n∈$\mathbb{N}$*，${a_n}$=${\frac{2}{3}n^3-\frac{3}{2}n^2+\frac{23}{6}n-2}$。

[答案4]${a_n=\frac{2}{3}n^3-\frac{3}{2}n^2+\frac{23}{6}n-2}$

[剧情]进入下一房间时，你注意到头顶飘下来了一张纸条：

向前走，莫回头！小澜。

真的是她写的吗？事到如今，也只能相信了。于是你继续看题。

[题目5]${a_1}$=2，${a_{n+1}=2a_n+3}$（n∈$\mathbb{N}$*），求通项。

[解析5]${a_{n+1}+3=2(a_n+3)}$，而${a_1+3=5}$，故${a_n+3=5·2^{n-1}}$，${a_n=5·2^{n-1}-3}$。

[答案5]${a_n=5·2^{n-1}-3}$

[剧情]你预见到后面的题不会太好做。毕竟，要是换一个没有经验的人来做，未必想得到加3呢。你抬头看时间，剩余9703秒。

“下一题，来吧。”你对自己说。

[题目6]${a_1}$=3，${a_{n+1}=3a_n+4n+2}$（n∈$\mathbb{N}$*），求通项。

[解析6]记一次多项式${P(n)=An+B}$，考虑令${a_{n+1}+P(n+1)=3(a_n+P(n))}$，则${3P(n)-P(n+1)=4n+2}$，

$\begin{cases}3A-A=4\\3B-A-B=2\end{cases}$，解得$\begin{cases}A=2\\B=2\end{cases}$

故${a_{n+1}+2(n+1)+2=3(a_n+2n+2)}$，

而n=1时，${a_n+2n+2=7}$，故${a_n+2n+2=7·3^{n-1}}$，${a_n=7·3^{n-1}-2n-2}$

[答案6]${a_n=7·3^{n-1}-2n-2}$

[剧情]时间剩余9574秒。你发现单这一题就花了你100多秒。“计算速度得提起来，”你想，“前面还不知有多少题呢。”

[题目7]${a_1}$=2，${a_{n+1}=2a_n+3n^2-5n+4}$（n∈$\mathbb{N}$*），求通项。

[解析7]记二次多项式${P(n)=An^2+Bn+C}$，考虑令${a_{n+1}+P(n+1)=2(a_n+P(n))}$，则${2P(n)-P(n+1)=3n^2-5n+4}$，

$\begin{cases}2A-A=3\\2B-2A-B=-5\\2C-A-B-C=4\end{cases}$，解得$\begin{cases}A=3\\B=1\\C=8\end{cases}$

故${a_{n+1}+3(n+1)^2+(n+1)+8=2(a_n+3n^2+n+8)}$，

而n=1时，${a_n+3n^2+n+8=14}$，故${a_n+3n^2+n+8=7·2^n}$，${a_n=7·2^n-3n^2-n-8}$

[答案7]${a_n=7·2^n-3n^2-n-8}$

[剧情]你又听到了奇怪的响动，但你没有理睬。

[题目8]${a_1}$=1，${a_{n+1}=2a_n+3^n}$（n∈$\mathbb{N}$*），求通项。

[解析8]${\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}}=\frac{2}{3}·\frac{a_n}{3^n}+\frac{1}{3}}$，${\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}}-1=\frac{2}{3}(\frac{a_n}{3^n}-1)}$

而$\frac{a_1}{3}$-1=-$\frac{2}{3}$，故${\frac{a_n}{3^n}-1=-(\frac{2}{3})^n}$，${a_n=3^n-2^n}$

[答案8]${a_n=3^n-2^n}$

[剧情]地上有几张小纸片，似乎是小澜的字迹。你仔细辨识，似乎是当年“活着的”小澜给“活着的”你写的纸条。它们为什么会出现在这里？你抬头，除了硕大的，闪着光的“9297”外，什么都看不到。

现实太残酷了，根本不会给人留下冥想的时间。

[题目9]${a_1}$=2，${a_{n+1}=\frac{6a_n-3}{a_n+2}}$（n∈$\mathbb{N}$*），求{${a_n}$}通项。

[解析9]假设∃n∈$\mathbb{N}$*，${a_n}$=3，设最小的满足条件的n为${n_0}$，则${n_0}$≥2，

从而$\frac{6a_{n_0-1}-3}{a_{n_0-1}+2}$=3，${a_{n_0-1}}$=3，与${n_0}$最小矛盾！

故∀n∈$\mathbb{N}$*，${a_n}$≠3

考虑${a_{n+1}}$-1=$\frac{5a_n-5}{a_n+2}$,${a_{n+1}}$-3=$\frac{3a_n-9}{a_n+2}$,

则$\frac{a_{n+1}-1}{a_{n+1}-3}$=$\frac{5}{3}$·$\frac{a_n-1}{a_n-3}$，

又$\frac{a_1-1}{a_1-3}$=-1，

故$\frac{a_n-1}{a_n-3}$=${-(\frac{5}{3})^{n-1}}$，${a_n=\frac{3·(\frac{5}{3})^{n-1}+1}{(\frac{5}{3})^{n-1}+1}}$

[答案9]${a_n=\frac{3·(\frac{5}{3})^{n-1}+1}{(\frac{5}{3})^{n-1}+1}}$

[剧情]还剩9119秒。这似乎是一场考试，一场你必须通过，才能获得一线生机的考试。考试的内容，似乎也不仅仅局限于数学。你，处于某种感觉自己应该尽的职责，拾起了那些纸片，匆匆奔赴下一站。

[题目10]已知${a_1}$=2，${a_{n+1}}$=$\frac{13a_n-18}{2a_n+1}$(n∈$\mathbb{N}$*)，求通项。

[解析10]假设∃n∈$\mathbb{N}$*，${a_n}$=3，设最小的这样的n为${n_0}$，则${n_0}$≥2，

则$\frac{13a_{n_0-1}-18}{2a_{n_0-1}+1}$=3，${a_{n_0-1}=3}$，与${n_0}$最小矛盾！

故∀n∈$\mathbb{N}$*，${a_n}$≠3，考虑${a_{n+1}-3=\frac{7(a_n-3)}{2a_n+1}}$，

${\frac{1}{a_{n+1}-3}=\frac{2a_n+1}{7(a_n-3)}=\frac{2}{7}+\frac{1}{a_n-3}}$

又$\frac{1}{a_1-3}$=-1，

故$\frac{1}{a_n-3}$=${-\frac{9}{7}+\frac{2}{7}n}$，${a_n=\frac{6n-20}{2n-9}}$

[答案10]${a_n=\frac{6n-20}{2n-9}}$

[剧情]有前一题的基础，加上扎实的基本功（致敬我班传奇物竞牲YYX），你很快就做出了这题。时间似乎还剩9007秒。小纸片依然揣在兜里，因为没有理由扔掉。

[题目11]已知${a_1=5,a_{n+1}=2a_n^2(n \in \mathbb{N}^*)}$,求通项。

[解析11]显然${\forall n \in \mathbb{N}^*,a_n}$>0,从而${log_5a_{n+1}=log_52+2log_5a_n}$

${log_5a_{n+1}+log_52=2(log_5a_n+log_52)}$,

而${log_5a_1+log_52=1+log_52=log_510}$,

故${log_5a_n+log_52=2^{n-1}log_510=log_510^{2^{n-1}}}$,

${log_5a_n=log_5\frac{10^{2^{n-1}}}{2},a_n=\frac{10^{2^{n-1}}}{2}}$.

[答案11]${a_n=\frac{10^{2^{n-1}}}{2}}$

[剧情]下一个房间略有点凌乱，好像有人刚从这里离开似的。但自然，你无从知晓祂的身份。好在这一切与你无关，你的注意力迅速回到做题上。

[题目12]已知${a_1=3，a_{n+1}=\frac{a_n^2-2}{2a_n-3}(n \in \mathbb{N}^*)}$，求通项。

[解析12]假设${\exists n \in \mathbb{N}^*，a_n=2}$，设最小的这样的${n为n_0，则n_0 \ge 2}$

有2=${\frac{a_{n_0-1}^2-2}{2a_{n_0-1}-3}，a_{n_0-1}=2}$，矛盾！故${\forall n \in \mathbb{N}^*，a_n \ne 2}$

考虑${a_{n+1}-1=\frac{(a_n-1)^2}{2a_n-3}，a_{n+1}-2=\frac{(a_n-2)^2}{2a_n-3}}$，

有${\frac{a_{n+1}-1}{a_{n+1}-2}=(\frac{a_n-1}{a_n-2})^2}$，

显然${\forall n \in \mathbb{N}^*，\frac{a_n-1}{a_n-2}}$>0，

故${log_2\frac{a_{n+1}-1}{a_{n+1}-2}=2log_2\frac{a_n-1}{a_n-2}}$

由${log_2\frac{a_1-1}{a_1-2}=1，有log_2\frac{a_n-1}{a_n-2}=2^{n-1}，\frac{a_n-1}{a_n-2}=2^{2^{n-1}}}$

从而${a_n=\frac{2^{2^{n-1}+1}-1}{2^{2^{n-1}}-1}}$

[答案12]${a_n=\frac{2^{2^{n-1}+1}-1}{2^{2^{n-1}}-1}}$

（注：关于以上采用不动点方法的题目，详细解释见附录1）

[剧情]在进入下一个房间时，你仿佛听到远处有脚步声。你茫然地向四周看了看，却只看见了墙壁。抬头，是只剩8634秒的倒计时。

[题目13]已知${a_1=2,a_2=1,a_{n+2}=4a_n-3a_{n+1}(n \in \mathbb(N)^*),}$,求通项。

[解析13]该数列对应特征方程为${x^2+3x-4=0}$，解得${x_1=1,x_2=-4}$。

故可设${a_n=A+B(-4)^m}$.

则$\begin{cases}A-4B=2\\A+16B=1\end{cases}$，

解得$\begin{cases}A=\frac{9}{5}\\B=-\frac{1}{20}\end{cases}$

故${a_n=\frac{9}{5}-\frac{(-4)^n}{20}}$.

[答案13]${a_n=\frac{9}{5}-\frac{(-4)^n}{20}}$

[剧情]“还好自己还记得这些。”你自言自语。下一个房间没有什么异样，你也轻松了片刻。

[题目14]已知${a_1=7，a_2=6，a_{n+2}=6a_{n+1}-9a_n(n \in \mathbb{N^*})}$，求通项。

[解析14]特征方程为${x^2-6x+9=0，x=3}$，可设${a_n=3^n(An+B)}$.

则$\begin{cases}3(A+B)=7\\9(2A+B)=6\end{cases}$，

解得$\begin{cases}A=-\frac{5}{3}\\B=4\end{cases}$

故${a_n=3^n(-\frac{5}{3}n+4)}$.

[答案14]${a_n=3^n(-\frac{5}{3}n+4)}$

（关于特征方程的证明，见附录2）

[剧情]“轰”，一声巨响，吓得正要进入下一房间的你差点缩回了脚。幸亏只是差点，要不然你就进不去了。惊魂未定的你赶紧往上看了看，确认无事后，才开始做题。

[题目15]已知${a_1=5，a_2=6，a_{n+2}=4a_{n+1}+5a_n+8(n \in \mathbb{N^*})}$，求通项。

[解析15]${a_{n+2}+1=4(a_{n+1}+1)+5(a_n+1)}$

特征方程为${x^2-4x-5=0，x_1=-1，x_2=5}$

可设${a_n+1=(-1)^nA+5^nB}$，则

$\begin{cases}5B-A=5+1\\25B+A=6+1\end{cases}$

解得$\begin{cases}A=-\frac{23}{6}\\B=\frac{13}{30}\end{cases}$

故${a_n+1=-\frac{23}{6}(-1)^n+\frac{13}{30}5^n}$，${a_n=-\frac{23}{6}(-1)^n+\frac{13}{30}5^n-1}$.

[答案15]${a_n=-\frac{23}{6}(-1)^n+\frac{13}{30}5^n-1}$