物理 [论坛资料室]偏微分方程：一点狠货
考虑以下$\text{Korteweg-de Vries}$方程，一个描述浅水波的非线性演化的偏微分方程：
$$u_t+6uu_x+u_{xxx}=0$$
其中$u(x,t)$是未知函数，$u_t$表示$u$对时间$t$的偏导数，$u_x$表示$u$对空间$x$的偏导数，$u_{xxx}$表示$u$对空间$x$的三阶偏导数（根据物理边界条件，$u$及其对时间和空间的各阶导数在无穷远处均趋于零）。
证明$\text{Korteweg-de Vries}$方程的解$u(x,t)$满足守恒律
$$\int_{\mathbb{R}}u(x,t)\,dx=\text{Const}$$
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2条评论
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你是怎么学玩这么多东西的，mol
ETHz
4月前
对KdV方程两边关于x进行积分，得到：∫(∞,-∞)u_t(x,t) dx + 6∫(∞,-∞)u(x,t)u_x(x,t) dx + ∫(∞,-∞)u_xxx(x,t) dx = 0利用积分与偏导数的交换，我们可以得到：d/dt ∫(∞,-∞)u(x,t) dx + 3∫(∞,-∞)u_x^2(x,t) dx + [u_x(x,t)]_(∞,-∞) = 0由于u(x,t)在负无穷和正无穷时趋于零，最后一项[u_x(x,t)]_(∞,-∞)为零。所以我们得到：d/dt ∫(∞,-∞)u(x,t) dx + 3∫(∞,-∞)u_x^2(x,t) dx = 0这表明∫(∞,-∞)u(x,t) dx 是关于时间t的一个守恒量，即它的导数为零。因此，我们证明了KdV方程的解u(x,t)有：∫(∞,-∞)u(x,t) dx = Const.因此，KdV方程的解u(x,t)满足守恒律。
本人菜的深沉，肯定错了，静待各位大佬打我的脸！
