物理

[论坛资料室]你该训练一下你的数学分析了(2))

怎么还有一个？？？

算了，要考试了，以后逝世……

根据题目条件可知，$f(x)$在区间[0,1]上连续且可导，并且$f(0)=0$。考虑函数$g(x)=f(x)^2$，我们有$g'(x)=2f(x)f'(x)$。根据题目条件可得：$$g'(x)=2f(x)f'(x)=2f(x)\int_0^x\frac{f(t)}{1+t^2}\ dt$$由于$\frac{1}{1+t^2}>0$，所以$\int_0^x\frac{f(t)}{1+t^2}\ dt$也恒大于等于0。因此$g'(x)≥0$，即函数$g(x)$在区间[0,1]上是单调递增的。另一方面，根据题目条件可得：$$g(0)=f(0)^2=0$$由于$g(x)$是单调递增的，并且在$0$处取得了最小值$0$。所以对于所有$x\in[0,1]$，有$g(x)≥0$。因此对于所有$x\in[0,1]$，有$f(x)^2=g(x)≥0$。由于$f(x)^2≥0$，所以对于所有$x\in[0,1]$，有$f(x)≥0$。另一方面，由题目条件可知$f(0)=0$，所以存在一个$\xi\in[0,1]$，使得$f(\xi)=0$。由于$f(x)$在区间[0,1]上连续，根据介值定理，对于任意$y\in[0,f(\xi)]$，存在$x_0\in[0,1]$，使得$f(x_0)=y$。结合$f(x)≥0$和$f(x_0)=y$，可知对于任意$y\in[0,f(\xi)]$都有$f(x_0)=y$。根据零点的唯一性，可知$f(x)=0$对于所有$x\in[0,1]$成立。综上所述，根据给定条件，可以得出$f(x)=0$对于所有$x\in[0,1]$成立。