数学

Lagrange恒等式及其应用

$Eg1.\quad Cauchy不等式$

$\left( \large\sum\limits_{i=1}^{n}a_i^2\right)\left( \large\sum\limits_{i=1}^{n}b_i^2\right)\geq \left( \large\sum\limits_{i=1}^{n}a_ib_i\right)^2$

证：由$Lagrange$恒等式即得.$\quad \square\quad(轻松愉快๑¯ω¯๑)$

一个常用推论：

$\sum\limits_{1\leq i <j\leq n}\left( a_{i}-a_{j}\right) ^{2}=n\sum\limits_{i=1}^{n}ai^{2}-\left( \sum\limits_{i=1}^{n}ai\right)^2$

证：$\quad 在Lagrange恒等式中取b_i=1即得.\quad \square$

$Eg2.$

$设a_1,a_2,···,a_n是正实数，证明：$

$\sum\limits_{1\le i\lt j\le n}\frac{a_ia_j}{a_i+a_j}\le \frac{n}{2\left( a_1+a_2+···+a_n\right)}·\sum\limits_{1\le i\lt j\le n}a_ia_j.$

证：

$令S=\sum{a_i}.$

$RHS=\frac{n}{2S}·\frac{\left( \sum{a_i}\right)^2-\sum{a_i^2}}{2}$

$\qquad\enspace\thinspace=\frac{nS}{4}-\frac{n\sum{a_i^2}}{4S}.$

$LHS=\sum\limits_{i\lt j}\frac{1}{4}\left( a_i+a_j\right)-\sum\limits_{i\lt j}\frac{\left( a_i-a_j\right)^2}{4\left( a_i+a_j\right)}$

$\qquad\enspace\thinspace=\frac{n-1}{4}S-\sum\limits_{i\lt j}\frac{\left( a_i-a_j\right)^2}{4\left( a_i+a_j\right)}.$

$故只需证\frac{n-1}{4}S-\frac{1}{4}\sum\limits_{i\lt j}\frac{\left( a_i-a_j\right)^2}{\left( a_i+a_j\right)}\le \frac{n}{4}S-\frac{n\sum{a_i^2}}{4S}.$

$\qquad\quad\Leftrightarrow \sum\limits_{i\lt j}\frac{\left( a_i-a_j\right)^2}{\left( a_i+a_j\right)}\ge \frac{n}{S}\sum{a_i^2}-S.$

$\qquad\quad\Leftrightarrow \sum\limits_{i\lt j}\frac{\left( a_i-a_j\right)^2}{\left( a_i+a_j\right)}\ge \frac{n\sum{a_i^2}-\left( \sum{a_i}\right)^2}{S}.$

$\qquad\quad\Leftrightarrow \sum\limits_{i\lt j}\frac{\left( a_i-a_j\right)^2}{\left( a_i+a_j\right)}\ge \sum\limits_{i\lt j}\frac{\left( a_i-a_j\right)^2}{S}.$

$由S\ge a_i+a_j知成立.\quad \square$

在学校的校本课上登论坛

回校给你看个好玩的（和这个有关）

另外才发现你第一行括号括错位置了😅