物理

[论坛资料室]二次方程的二次曲线

给定一条二次曲线，求其对应的方程，直接用定义计算，就可得到

但给出一个二元二次方程，又该如何求它对应的曲线呢？

评论区有人（没弄错的话是二轮的大佬）提出用转轴公式，这自然未尝不可，在讲解竞赛一轮解析几何例25时，郭启新老师就是这样解决的

但转轴公式使用的过程中，由于涉及到大量三角函数的运算，虽然过程很简洁，计算量却未必比不用小

这样看来，个人认为使用转轴公式并无明显的解题优势，所以本篇文章不采纳

在这样的前提条件下，要解决这个问题的全套过程形式上来看有点复杂，因为二次曲线有八类：

①椭圆

②双曲线

③抛物线

④圆

⑤两条直线

⑥一条直线（严格地说是一对重合直线）

⑦单点集

⑧空集

实际上，这八类二次曲线的方程都有其特征，根据方程是可以得到其类型，并推出相关参数的

好了，咱们开始吧！

一、特殊情况

如果给定方程的${x^2}$项和${y^2}$项系数均为0，那么交叉项系数必不为零（否则就不是二次方程了）

这样的方程对应的曲线一定是一条双曲线或两条相交直线，且若是双曲线，两渐近线分别垂直于${x轴和y轴}$

可以通过凑项因式分解的方式求出两条渐近线的具体位置，分解后剩余的常数的正负决定了它的两条对称轴哪条实，哪条虚

若常数为正，则实对称轴倾斜角为$\frac{π}{4}$

若常数为负，则为$\frac{3π}{4}$

若为0，则曲线为两条相交直线，所求得的“渐近线”即为这两条直线

进而容易求出其对称轴，并推出${a}$的值

由于这样的双曲线必然是等轴双曲线，${c=\sqrt{2}a}$，可以求出其焦距，进而求出焦点位置

eg.求${xy+2x-3y+2=0}$相关参数。

易知该方程对应一条双曲线，凑项因式分解得${(x-3)(y+2)=-8}$

故两条渐近线为${x-3=0}$和${y+2=0}$，对称中心为(3,-2)

又由-8<0，实对称轴倾斜角为$\frac{3π}{4}$，方程为${x+y-1=0}$

$\sqrt{|-8|}$=${2\sqrt{2}}$，从而${a=\sqrt{2}×2\sqrt{2}}$=4，${c=\sqrt{2}a=4\sqrt{2}}$

两焦点在实对称轴上，且到对称中心距离为${4\sqrt{2}}$，分别为(7,-6)和(-1,2)

离心率${e=\sqrt{2}}$

以上就求出了与这一曲线相关的参数。

二、椭圆

从这一章开始，我们就要见到带有平方项的二次方程了

熟悉解析几何的同学应该都知道，解析几何中的特殊情况永远比一般情况简单

这里也不例外，以下有些内容会有大量的计算量，建议手边常备卡西欧（因为我就是这么干的）

由于我们已经确定了存在平方项，就可以利用主元法，看作一元二次方程处理

当然主元可以是${x}$，也可以是${y}$，但本质上是对称的

不用担心其中一项不存在，因为总可以以另一项为主元，进行处理，方法是对称的

所以，接下来几节中，我们都讨论${x^2}$项存在的情况

对于不存在的情况，以${y}$为主元类似处理即可

好了，概括完了，说回椭圆

椭圆必然同时存在${x^2}$项和${y^2}$项，下面都以${x}$为主元处理

首先判断该曲线是不是圆（高中课内内容，实在不知道就看第五部分）

其实圆用椭圆的方法当然也能处理，但是可以有更简单的方法，所以我们就单独讨论

如果不是的话，那么我们写出关于${x}$的Δ，如果曲线是椭圆的话，Δ应当是一个关于${y}$的二次式

且二次项小于零，这个式子关于${y}$的Δ（以下记为δ）大于零

这一方法是判断椭圆的必要条件，而如果此前已经把圆的可能性排除，就是充分必要的了

有点绕？没事，待会儿看例子也许就能明白了

δ的对称轴是椭圆对称中心的纵坐标${y_0}$

将${y_0}$代回原方程，等式左侧为一个关于${x}$的二次式，其对称轴即为对称中心的横坐标${x_0}$

下面就是最精彩的部分了！为了简化问题，我们选择了平移坐标系！

记椭圆对称中心为${O'}$，将坐标系${xOy}$平移至${x'O'y'}$

在原来的方程中，将${x'=x-x_0}$，${y'=y-y_0}$代入，如果计算正确，得到的式子应当没有一次项

设${x'=kcosθ}$，${y'=ksinθ}$，利用三角变换和辅助角公式，可以求出${k}$的最大值和最小值

这时的最大值即为长轴长${a}$，最小值即为短轴长${b}$，进而可求出焦距${c}$

将${k}$最大值代入，可以利用三角变形求出此时的θ

而θ就是长轴所在直线的倾斜角，故可求出原坐标系中长轴所在直线的方程

利用以上数据，足以求出焦点的坐标了，这样就得到了相关的全部参数

eg.求二次曲线${15x^2+7y^2+6xy-258x-154y+1423=0}$的相关参数。

数字这么大，不怕！（有卡西欧！）

以${x}$为主元整理得${15x^2+(6y-258)x+(7y^2-154y+1423)=0}$，

${Δ=(6y-258)^2-4×15(7y^2-154y+1423)=-384y^2+6144y-18816}$

-384<0，${δ=6144^2-4×(-384)×(-18816)=8847360}$>0

故该二次曲线为椭圆，${y_0=-\frac{6144}{2×(-384)}=8}$

将${y_0}$代回原式得${15x^2-210x+639=0}$，${x_0=-\frac{-210}{2×15}=7}$

记${O'(0,7)}$，将坐标系原点平移至${O'}$处，则${x'=x-7，y'=y-8}$

代入原方程整理得到${15x'^2+7y'^2+6x'y'-96=0}$

令${x'=kcosθ}$，${y'=ksinθ}$，${k}$>0

利用二倍角公式整理易知${4k^2cos2θ+3k^2sin2θ=96-11k^2}$

由辅助角公式，${-5k^2≤96-11k^2≤5k^2}$

解得${\sqrt{6}≤k≤4}$，从而${b=\sqrt{6}，a=4，c=\sqrt{10}，e=\frac{\sqrt{10}}{4}}$

将${k=4}$代回原式，解得${θ=arccos(-\frac{\sqrt{10}}{10})，tanθ=-3}$

以上就求出了与这一曲线相关的参数。

三、双曲线

双曲线与椭圆方法有一点类似之处，也是先看Δ和δ的特征

曲线为双曲线当且仅当Δ的二次项大于零，且δ≠0

接下来，我们仍然可以用椭圆的做法，但这里给一条新的方法：

保持前五项不变，改变常数项，使得δ=0（此时的常数项可用待定系数法解出）

这时得到的新的方程是可以因式分解的，分别令分解得到的两个一次式=0，就可以求出双曲线的两条渐近线

进而我们可以解出两渐近线形成四个角的平分线，通过是否与原双曲线有交点就可以判断实对称轴和虚对称轴

进而可以解出${a}$，利用渐近线和实对称轴的夹角就可以解出${b}$，再得到焦距${c}$，就可以解出焦点坐标

以上就求出了与这一曲线相关的参数。

eg. 求二次曲线${3x^2-6xy-5y^2+64y-152=0}$的相关参数。

可求得${Δ=96y^2-768y+1824}$，96>0，${δ≠0}$

故所求曲线为双曲线

仅将最后一项改为-128，此时可将原式因式分解为${(x-\frac{2\sqrt{6}+3}{3}y+\frac{8\sqrt{6}}{3})(x-\frac{-2\sqrt{6}+3}{3}y-\frac{8\sqrt{6}}{3})}$=0

联立解得双曲线对称中心为(4, 4)

利用点到直线距离公式，可求出两条渐近线所成四个角的平分线为${x+3y-16=0}$与${3x-y-8=0}$

前者与两条双曲线有两个交点，与顶点的纵坐标之差为$\frac{\sqrt{15}}{5}$，从而a=$\sqrt{10}$×$\frac{\sqrt{15}}{5}$=$\sqrt{6}$，

由实对称轴与渐近线的夹角正切得到b=2，从而c=$\sqrt{10}$，e=$\frac{\sqrt{15}}{3}$，焦点为(7,3)和(1,5)

这样就求出了与这条双曲线相关的参数。

四、抛物线

理论上，我们仍然可以用Δ和δ来判定一条抛物线，但这里有一个更简单的方法

如果二次项能配成完全平方式，但方程无法因式分解，且存在一次项，那么该曲线是抛物线

且配成完全平方式的部分等于零所对应的直线与对称轴平行

作它的一条垂线，当垂线与抛物线相切时，切点为顶点，进而可得到对称轴

将对称轴绕顶点旋转${arctan2}$（无论方向），那么得到直线与抛物线的交点在对称轴上的射影为抛物线的焦点

进而可以得到抛物线的准线，求出相关参数

eg.求曲线${x^2+6xy+9y^2-158x-74y+641=0}$的相关参数。

最左边三项显然可以配成完全平方${(x+3y)^2}$，但整个方程无法实现这一点，因此该曲线为抛物线，对称轴可设为${x+3y=k}$

作一条垂线${y=3x+t}$，令该直线与抛物线相切（即只有一组解，消元后用判别式）

解得${t=-7}$，切点（也即抛物线的顶点）为(4,5)

代入对称轴方程，解得对称轴为${x+3y=19}$

将对称轴绕顶点逆时针（方向不重要）旋转${arctan2}$，得到直线方程为${y=x+1}$

解出与抛物线的两个交点，一为顶点(4,5)，另一为(9,10)

过(9,10)做抛物线对称轴的垂线，方程为${y=3x-17}$，与抛物线的对称轴交于点(7,4)

故该抛物线的顶点为(4,5)，焦点为(7,4)，易求得准线为${3x-y+3=0}$

以上就求出了该曲线的全部相关参数。

五、圆

这是每个合格的高中生都应该掌握的知识

圆的方程不存在交叉项，${x^2}$项和${y^2}$项系数相等，分别进行配方后留下的常数（在式左边）小于零

然后转化为标准方程（其实只需要把常数项移到右边再同除以平方项系数）处理就可以了

eg.求方程${3x^2+3y^2-42x-36y+246=0}$对应的曲线。

由不存在交叉项，且平方项系数相等，配方得到${3(x-7)^2+3(y-6)^2-9=0}$，而-9<0，故该曲线为圆

移项，同除以系数后得到${(x-7)^2+(y-6)^2=3}$，故该圆圆心为(7,6)，半径为$\sqrt{3}$

以上就求出了该曲线的相关参数。

六、两条直线

能分解成为两个不同一次因式乘积的二次方程对应两条直线，分解得到的两个因式对应两条直线的方程

eg.求方程${3x^2-5xy-2y^2-8x-5y-3=0}$对应的曲线。

原方程可分解为${(x-2y-3)(3x+y+1)=0}$（由双十字相乘），故对应两条直线${x-2y-3=0}$与${3x+y+1=0}$

以上就求出了该曲线的相关参数。

七、一条直线

能分解成一次式的完全平方式的方程对应一条直线，该直线即为一次因式对应的直线

eg.求方程${4x^2+4xy+y^2+12x+6y+9=0}$对应的曲线。

该方程可分解为${(2x+y+3)^2=0}$，故对应一条直线，方程为${2x+y+3=0}$

以上就求出了该曲线的相关参数。

八、一个点

当方程Δ的二次项系数小于0，而δ=0时，对应的方程为一个点。Δ=0的取等条件为这个点。

eg.求方程${2x^2+2xy+y^2+6x+4y+5=0}$对应的曲线。

Δ=${-4(y-1)^2}$，δ=0，

故该方程对应平面上一点，其中${y=-1}$，代入解得${x=-1}$

故该方程对应平面上一点(-1,-1)

以上就求出了该曲线的所有相关参数。

九、空集

当Δ二次项系数小于0，δ小于0时，对应空集。

eg.求曲线${x^2+6xy+10y^2+4x+5y+17=0}$的相关参数。

Δ=${-4y^2+28y-52}$，δ=-48，故该方程对应空集

以上就求出了该曲线的所有相关参数。

（完结）