物理 [论坛资料室]一个好玩的数学问题
先来问个问题，有没有人知道$\int^0_1\frac{ln(1-x)}{x}$怎么手解，求救
$\sum_{来水积分啊}^{朋友们}$
问了半天没结果，先写算了
事情是这样的，我有个朋友想求$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}$的值是多少。在初生牛犊不怕虎的精神的指引下，他进行了如下推导。
$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}$
$=\sum_{n=1}^{+\infty}\int^1_0\frac{x^{n-1}}{n}$
$=\int^1_0\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^{n-1}}{n}$
此处只需集中注意力就可以发现，$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^{n-1}}{n}=\frac{1}{x}\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{n}$
而巧了么，$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{n}$这坨玩意正好是$-ln(1-x)$的泰勒展开！
于是乎
$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}=\int^0_1\frac{ln(1-x)}{x}$就这么水灵灵的出来了
但问题在于，这个定积分我暂时解不来
于是我去询问了我的老师，他翻阅了高数书，找到了另外一种方法。但鉴于那种方法过于抽象，等我先消化一下再发上来
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就你说有没有可能，我这篇帖子想证的就是你当结论拿来用的最后一步(doge)循环论证上了属于是
主要是你也没说啊😅
我就说你怎么到哪儿搜都搜不到还知道答案还是这么巧的一个答案的😅
变成🤡了属于是🤡
但是用泰勒展开算积分确实是一个特别的主意🤔
话说你知道那个论坛生物排行榜为什么会@我吗🤔
∞软键盘上有
\infty
$\infty$
正无穷是\infty
$\infty$
话说你求和会打吗🤔
那个公式是这样\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}
$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$
还有，把这个再移进去啊😅
不然我都不能水积分了😅
$\int_{软键盘哪有\LaTeX{好玩}}^{害，肤浅了}{你说对吧=}$♿♿♿
@小脸是小常$\dfrac{\sum_{你说呢}^{怎么不会了}}{水积分，插出去}$♿♿♿
好了
$\int^{frac{\pi}{2}}_0 \ln(\cos 2x)dx=i(\frac{\pi^2}{8}-[1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+...]$
原式为$\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{n^2}$
令$S=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...
=(1+\frac{1}{3^2}+\frac{5^2}+...)+\frac{1}{2^2}(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...)
=\frac{\pi^2}{8}+\frac{1}{4}S
解得S=\frac{\pi^2}{6}$