数学

数论－代数变形

我这人不喜欢说废话，所以废话不多说，直接进入正题

什么是代数变形，

我们来看一道水题：

试证明：对任意正整数$d$，存在无数多个直角三角形，且两条直角边的长度之差为$d$

看下具体的过程

首先$x^2＋(x+1)^2$ = $y^2$有无数组正整数解

这个方程等价于$(2x+1)^2-2y^＝-1$

方程$s^2-2t^2＝－1$有一组正整数解$(1,1)$，因此存在无数组正整数解，设为$(s_n,t_n)$，其中$s_n$必定为奇数 

对于每一组正整数解$(s_n,t_n)$，取：太麻烦了直接写汉字$x=s_n-1$/2，$y=t_n$即得到了原问题的正整数解，从而命题得证

给大家直观的看一道选择题数论问题中的代数表达式进行代数变形的主要原因有：（多选）

A.利用换元法变形

B.利用算术基本定理可以对表达式进行素因数分析

C.方便我们利用不等式的放缩来得到表达式的范围

D.可以利用整数、完全平方数、立方数的离散性来估计范围

显然，选项全部是正确的

综述一下：研究数论表达式，我们有两个最基本的视角，一个是从算术基本定理的角度，可以将加减法连接形成的表达式进行因式分解变成乘法表示的表达式，从而利用算术基本原理得到一系列方程或整除关系进行进一步的分析.另外一个是从代数式放缩的角度，可以通过配方或其他代数变形对代数式的大小进行估计.比如，完全平方数是离散性比较大的整数子集，对于完全平方数，如果能给出一个范围估计，我们很容易得到该完全平方数的值.

最后给有兴趣的同学留个题目挑战一下：求不定方程$x^4+y^4+z^4=2x^2y^2+2y^2z^2+x^2z^2$的所有整数解