数学 Sum of Squares
三元不等式的SOS方法
$f\left( a,b,c\right) =S_{a}\left( b-c\right) ^{2}+S_{b}\left( c-a\right) ^{2}+S_{c}\left( a-b\right) ^{2}$
若$f$满足下列条件之一，则$f\geq 0$
$\left( 1\right) S_{a},S_{b},S_{c}\geq 0$
$\left( 2\right) a\geq b\geq c,S_{b}\geq 0,S_{a}+S_{b}\geq 0,S_{c}+S_{b}\geq 0$
$\left( 3\right) a\geq b\geq c,S_{b}\leq 0,S_{a}+2S_{b}\geq 0,S_{c}+2S_{b}\geq 0$
证：（增量法） 设$a\geq b\geq c,\quad b-c=k,\quad a-b=h,\quad k,h\geq 0$
$\Rightarrow f=S_{a}k^2+S_{b}\left( k+h\right)^2+S_{c}h^2$
$\left( 2\right)若S_{b}\geq 0,\Rightarrow f\geq S_{a}k^2+S_{b}\left( k^2+h^2\right)+S_{c}h^2$
$ \qquad\qquad\qquad\quad\quad =\left( S_{a}+S_{b}\right)k^2+S_{c}h^2\geq 0$
$\left( 3\right)若S_{b}\leq 0,\Rightarrow f\geq S_{a}k^2+S_{b}\cdot2\left( k^2+h^2\right)+S_{c}h^2$
$ \qquad\qquad\qquad\quad\quad =\left( S_{a}+2S_{b}\right)k^2+\left( S_{c}+2S_{b}\right)h^2\geq 0$
$Eg1.$
$Schur.\quad \large\sum\limits_{cyc}a\left( a-b\right)\left( a-c\right)$
$\qquad \quad=\frac{1}{2}\large\sum\limits_{cyc}a\left( a-b\right)\left( a-c\right)+b\left( b-c\right)\left( b-a\right)$
$\qquad \quad=\frac{1}{2}\large\sum\limits_{cyc}\left( a-b\right)\left[ a\left( a-c\right)-b\left( b-c\right)\right]$
$\qquad \quad=\frac{1}{2}\large\sum\limits_{cyc}\left( a+b-c\right)\left( a-b\right)^2$
$由对称性不妨设a\geq b\geq c$
$S_{a}=b+c-a,S_{b}=c+a-b,S_{c}=a+b-c$
$S_{a}+S_{b}=2c\geq 0,\quad S_{c}+S_{b}=2a\geq 0$
$由SOS\left( 2\right)知\large\sum\limits_{cyc}a\left( a-b\right)\left( a-c\right)\geq 0.\quad \square$
- 1
$给出一些常见配方式$
$\large\sum a^{2}-\sum ab=\dfrac{1}{2}\sum \left( a-b\right) ^{2}$
$\large\sum a^{3}-3abc=\dfrac{1}{2}\sum a\cdot \sum \left( a-b\right) ^{2}$
$\large\sum ab^{2}-\sum a^{2}b=\dfrac{1}{3}\sum \left( a-b\right) \left( a-b\right) ^{2}$
$\large\sum a^{3}-\sum a^{2}b=\dfrac{1}{3}\sum \left( 2a+b\right) \left( a-b\right) ^{2}$
留一道题（用$SOS$解决）
$\forall x,y,z >0,\quad4\left( x+y+z\right) ^{3} >27\left( x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x\right)$
后天给答案( つ•̀ω•́)つ
$Eg2.\quad \forall x,y,z\gt 0,\quad4\left( \large\sum x\right) ^{3}\gt 27\large\sum x^{2}y$
$注意到\quad4\left( \large\sum x\right) ^{3}-27\large\sum x^{2}y$
$\quad\quad\quad=\large\sum x\left( -2x+4y+z\right) ^{2}$
$\quad\quad\quad\gt0\quad \square$