物理

物竞实用小技巧之Casio求任意单变量函数任意阶导数(出自孙照人老师)

要正式退坛了，走之前分享一个实用技巧吧

众所周知，物理竞赛是一门极需计算能力的竞赛，面对三小时八(或七？)道大题的考验。能在考场比别人少用几分钟时间计算，便能拥有更多思考与整理思路的时间

而求导，是计算中较为复杂与常见的一项，但是我们的Casio求导的功能只能求一阶导，面对可怕的亥姆霍兹线圈和刚体小震动，这点能力是永远不够的

所幸，我们氢碍的孙照人老师发明了求任意阶导的方法，现分享给大家

基本思路与推导如下图

基本思路是利用数值逼近，非常简单，但是效果出奇的好

实操:

比如，现在，我们求一些比较复杂函数的导数

面对这种函数，如果你的小量展开足够熟练，也是能在3分钟内解决的，但利用此法仅需不到一分钟便能得到数值解

首先，我们将此函数输入Casio的自定义函数中，并令x为零，发现结果为零

那么显然该函数零阶项为零，根据刚刚学的方法，我们直接在函数后面除以x即可

此时我们再令x为0.0001和0.000001(逼近0即可，随意)发现结果数量级并不稳定！

这在向我们说明此函数一阶项系数也为零！于是我们再直接把函数后的除以x变为除以x的平方

再次输入小量发现结果稳定，于是我们得到x二阶项系数，进而得到二阶导

另外此法最最好用的地方在于，对于定积分函数，这个方法依然适用！

比如下面这题

注意此时我们不能再使用自定义函数功能，因为这玩意自变量只能为x，与积分变量交叉，我们利用A代替x并另A为0得到零阶项

将此值赋值给变量存储器中的B(这个随你选)并在积分式后方减去B并除以A

现在令A为0.0001这种高阶小并积分得到一阶项

同样的将此变量赋值给C并减去Cx再除以A平方，并再次积分

这样我们就得到这坨定积分函数的展开式啦！

本人曾在某题中做到过类似的展开，手算(手残)与使用Casio之间差了整整5到10分钟！

而在物理竞赛中，数值解是可以拿到全分的！于是此法可以成为一大计算杀器

注:此法仅适用于无量纲单变量函数，如果你考试遇到无法无量纲化的函数时请老老实实手算(不过一般这种时候题目不会恶心到让你想要使用此法，总体还是很实用的)