物理

（大概算是初学LaTeX的纪念？）真空光速的推导

$\Large{声明：尽管我认为佬们都会推导，但我还是想发一下留作纪念，我也不知道这算不算水……}$

$\huge{如有不当，还请指正！}$

下面我们推导真空光速为：

$c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}$

首先列出真空中的$\mathfrak{Maxwell}$方程组：

$\begin{cases}\nabla \cdot \vec{E}=0\\\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\\\nabla \cdot \vec{B}=0\\\nabla \times \vec{B}=\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\end{cases}$

对方程组的第二、第四个式子求旋度：

$\begin{cases}\nabla \times (\nabla \times \vec{E})=-\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \vec{B})\\\nabla \times (\nabla \times \vec{B})=\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \vec{E})\end{cases}$

利用矢量恒等式：

$\vec{A} \times (\vec{B} \times \vec{C})=\vec{B} \cdot (\vec{A} \cdot \vec{C})-\vec{C} \cdot (\vec{A} \cdot \vec{B})$

可得：

$\begin{cases}\nabla \cdot (\nabla \cdot \vec{E})-\nabla^{2}\vec{E}=-\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \vec{B})\\\nabla \cdot (\nabla \cdot \vec{B})-\nabla^{2}\vec{B}=\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \vec{E})\end{cases}$

再利用方程组中的第二、第四个式子以及电场、磁场散度为零可得：

$\begin{cases}\nabla^{2}\vec{E}=\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial t^{2}}\\\nabla^{2}\vec{B}=\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^{2}\vec{B}}{\partial t^{2}}\end{cases}$

显然这是波动方程，因此可以推知真空光速为：

$c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}$