数学

[代数专题]艾式判别法

[2024年10月2日已更新]

艾式判别法，即艾森斯坦判别法，是判断整系数多项式在有理数域是否可约的一种方法，以下我将对其进行详细介绍。

       1.艾式判别法的定理内容

             不妨设$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+···+a_1x+a_0$是一个整系数多项式。若存在一个质数m，使得：

               ①m不整除$a_n$

               ②m整除$a_{n-1}，a_{n-2}，···，a_0$

               ③$m^2$不能整除$a_0$

          那么f(x)在有理数域上不可约。

          2.艾式判别法的证明过程

              我们可以用反证法来进行证明，大致如下：

          证明：假设f(x)在有理数域上可均，即f(x)=g(x)h(x)，其中$g(x)=c_sx^r+···+b_0$，$h(x)=c_sx^s+···+c_0$，这里r>0，s>0且r+s=n

               ①考虑f(x)的首项系数

                  ⑴因为f(x)=g(x)h(x)，所以$a_n=b_rc_s$

                  ⑵由条件m不整除$a_n$，又因为m为质数，所以m不整除$b_r$且p不整除$c_s$

               ②考虑f(x)的常数项

                  ⑴$a_0=b_0c_0$

                  ⑵由于m整除$a_0$，所以m整除$b_0$或者m整除整除$c_0$.不妨设m整除$b_0$

               ③考察m对g(x)和h(x)系数的影响

                  ⑴对于$k=1，2，…，n，a_k=b_rc_{k-r}+b_{r-1}c_{k-r+1}+…+b_{k-s}c_s$

                  ⑵已知m整除$a_1$，$a_2$，…，$a_ {n-1}$

                  ⑶因为m整除 $a_1$，即m整除$b_rc_1+b_{r-1}c_0$；

                      又因为m整除$b_0c_1+b_1c_0$且m整除$b_0$，所以m整除$b_1c_0$；

                      由于m是质数且m整除$b_0$，所以m整除$b_1$或者m整除$c_0$；

                      已知$m^2$不整除$a_0=b_0c_0$，所以如果m整除$b_0$，那么m不整除$c_0$，从而推出m整除$b_1$.

                  ⑷同理，通过对$a_2，a_3，…$进行分析，可以逐步推出m整除$b_2，b_3，…，b_r.$

                  ⑸但这与前面得出的m不整除$b_r$矛盾

             故假设不成立，即f(x) 在有理数域上不可约.            证毕

            3.艾式判别法的示例

                  例如，对于多项式$f(x)=2x^3+3x^2+1$

                             取质数p=3，此时3不能整除$a_3=2$；

                              3整除$a_2=3$，3整除$a_1=0$，3整除$a_0=1$；

                               $3^2=9$，不能整除$a_0=1$.

                  所以根据艾式判别法，该多项式$f(x)=2x^3+3x^2+1$在有理数域上不可约.

                以上就是艾式判别法的全部内容啦😋，如果有遗漏，请从评论区指出来哦