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非负实数$x$, $y$, $z$满足$4x^{2}+4y^{2}+z^{2}+2z=3$，即就是
$$4x^{2}+4y^{2}+(z+1)^{2}=4$$
我们令$2t=z+1$，则有
$$4x^{2}+4y^{2}+4t^{2}=4$$
即
$$x^{2}+y^{2}+t^{2}=1$$
考虑定义域$x\geqslant 0$, $y\geqslant 0$, $z=2t-1\geqslant 0$, $t\geqslant \dfrac{1}{2}$. 满足原方程的几何意义是三维空间(x,y,t)中单位球壳上满足$x\geqslant 0$, $y\geqslant 0$, $t\geqslant\dfrac{1}{2}$的点的集合, 也可以看成是从原点到这些点的单位向量们的集合.
现在考虑我们要求的表达式
$$\begin{aligned}c&=5x+4y+3z\\&=5x+4y+3(2t-1)\\&=5x+4y+6t-3\\&=(5,4,6)\cdot(x,y,t)-3\end{aligned}$$
注意到我们将该表达式写成了两个向量$(x,y,t)$和$(5,4,6)$的标量积, 注意到
$$\begin{aligned}(5,4,6)\cdot (x,y,t)&=|(5,4,6)|\times|(x,y,t)|\times \cos \alpha\\&=\sqrt{5^2+4^2+6^2}\times 1\times \cos\alpha\\&=\sqrt{77}\times\cos\alpha\end{aligned}$$
其中$\alpha$为向量$(5,4,6)$与$(x,y,t)$之间的夹角, 其取值范围必然在$\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$之内. 要使得$c$最小, 即
$$c=(5,4,6)\cdot(x,y,t)-3=\sqrt{77}\times\cos\alpha-3$$
最小, 必然要求$\cos\alpha$最小, $\cos\alpha$在$\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$上是减函数, 因此$\alpha$取最大时, $c$最小.
我们来想这个问题的几何图像, 我们从$\alpha=0$开始一点点增大$\alpha$, 也就是围绕着$(5,4,6)$这个向量一点点取立体角更大的单位圆锥, 直到其恰好大过我们的部分单位球壳的区域(定义域)为止, 此时必为$(x,y,t)=(0,0,1)$, $(0,\dfrac{\sqrt{3}}{2},\dfrac{1}{2})$和$(\dfrac{\sqrt{3}}{2},0,\dfrac{1}{2})$曲面三角形三个顶点中的一个, 将其代入$c$的表达式, 发现$(x,y,t)=(0,0,1)$时
$$c=5\times 0+4\times 0+6\times 1-3=3$$
最小.
